ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 19 - 19.24

Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат двучлена: $$ x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1 $$ Тогда функцию можно записать в виде: $$ y = \sqrt{(x + 1)^2 + 1} $$ Определим область значений подкоренного выражения: Так как $(x + 1)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $x$, то: $$ (x + 1)^2 + 1 \ge 1 $$ При этом наименьшее значение, равное $1$, выражение принимает при $x = -1$: $$ (-1 + 1)^2 + 1 = 1 $$ Поскольку квадратичная функция непрерывна и не ограничена сверху, подкоренное выражение может принимать любое значение из промежутка $[1; +\infty)$. Так как функция квадратного корня $f(t) = \sqrt{t}$ непрерывна и монотонно возрастает на всей своей области определения, наименьшее значение исходной функции равно: $$ y_{\text{наим}} = \sqrt{1} = 1 $$ При стремлении $x$ к бесконечности значение $\sqrt{(x + 1)^2 + 1}$ также неограниченно возрастает. Следовательно, область значений данной функции: $$ E(y) = [1; +\infty) $$ **Ответ:** $[1; +\infty)$