ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 18 - 18.11

**1)** $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$, $I = (0; \pi)$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$. Общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ на промежутке $(0; \pi)$: $$ F(x) = -\operatorname{ctg} x + C $$ Найдем значение постоянной $C$, используя условие $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$: $$ -\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} + C = 0 $$ $$ -1 + C = 0 \implies C = 1 $$ Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $$ F(x) = -\operatorname{ctg} x + 1 $$ **Ответ:** $F(x) = -\operatorname{ctg} x + 1$. --- **2)** $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty)$, $F(16) = 10$. Так как $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$, общий вид первообразных на промежутке $(0; +\infty)$: $$ F(x) = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C $$ Найдем значение $C$, подставив начальное условие $F(16) = 10$: $$ 2\sqrt{16} + C = 10 $$ $$ 2 \cdot 4 + C = 10 $$ $$ 8 + C = 10 \implies C = 2 $$ Следовательно: $$ F(x) = 2\sqrt{x} + 2 $$ **Ответ:** $F(x) = 2\sqrt{x} + 2$. --- **3)** $f(x) = \frac{1}{x}$, $I = (0; +\infty)$, $F\left(\frac{1}{e}\right) = -2$. Поскольку на промежутке $(0; +\infty)$ переменная $x > 0$, общий вид первообразных: $$ F(x) = \ln x + C $$ Используем условие $F\left(\frac{1}{e}\right) = -2$: $$ \ln\left(\frac{1}{e}\right) + C = -2 $$ $$ \ln(e^{-1}) + C = -2 $$ $$ -1 + C = -2 \implies C = -1 $$ Получаем первообразную: $$ F(x) = \ln x - 1 $$ **Ответ:** $F(x) = \ln x - 1$. --- **4)** $f(x) = 2^x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $F(5) = 1$. Общий вид первообразных для показательной функции $f(x) = 2^x$ на всей числовой прямой: $$ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C $$ Найдем значение постоянной $C$, подставив условие $F(5) = 1$: $$ \frac{2^5}{\ln 2} + C = 1 $$ $$ \frac{32}{\ln 2} + C = 1 \implies C = 1 - \frac{32}{\ln 2} $$ Подставим найденную константу $C$ в формулу первообразной: $$ F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + 1 - \frac{32}{\ln 2} = \frac{2^x - 32}{\ln 2} + 1 $$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2^x - 32}{\ln 2} + 1$.