ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.5

1) $f(x) = e^{3x} - 3x$, $x_0 = 0$. Найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции и разности: $$ f'(x) = (e^{3x})' - (3x)' = e^{3x} \cdot (3x)' - 3 = 3e^{3x} - 3 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = 3e^{3 \cdot 0} - 3 = 3e^0 - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0 $$ Ответ: $0$. --- 2) $f(x) = e^{-2x} \cos 2x$, $x_0 = 0$. Найдем производную функции, используя формулу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правила дифференцирования сложных функций: $$ f'(x) = (e^{-2x})' \cdot \cos 2x + e^{-2x} \cdot (\cos 2x)' $$ Так как $(e^{-2x})' = -2e^{-2x}$ и $(\cos 2x)' = -2\sin 2x$, получаем: $$ f'(x) = -2e^{-2x} \cos 2x - 2e^{-2x} \sin 2x = -2e^{-2x} (\cos 2x + \sin 2x) $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = -2e^0 (\cos 0 + \sin 0) = -2 \cdot 1 \cdot (1 + 0) = -2 $$ Ответ: $-2$. --- 3) $f(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2}$, $x_0 = 1$. Воспользуемся формулой производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ f'(x) = 3^{3x - 4x^2 + 2} \cdot \ln 3 \cdot (3x - 4x^2 + 2)' = (3 - 8x) \cdot 3^{3x - 4x^2 + 2} \ln 3 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = (3 - 8 \cdot 1) \cdot 3^{3 \cdot 1 - 4 \cdot 1^2 + 2} \cdot \ln 3 = -5 \cdot 3^1 \cdot \ln 3 = -15\ln 3 $$ Ответ: $-15\ln 3$.