ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 16 - 16.6

**1)** $\log_{0,5}(1 - x) > -\frac{1}{2}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $1 - x > 0 \iff x < 1$. Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $0,5$: $$ -\frac{1}{2} = \log_{0,5} (0,5)^{-\frac{1}{2}} = \log_{0,5} \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \log_{0,5} 2^{\frac{1}{2}} = \log_{0,5} \sqrt{2} $$ Исходное неравенство принимает вид: $$ \log_{0,5}(1 - x) > \log_{0,5} \sqrt{2} $$ Так как основание логарифма $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ \begin{cases} 1 - x < \sqrt{2}, \\ 1 - x > 0 \end{cases} $$ Решим полученную систему: $$ \begin{cases} -x < \sqrt{2} - 1, \\ -x > -1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 - \sqrt{2}, \\ x < 1 \end{cases} $$ Таким образом, решением неравенства является промежуток: $x \in (1 - \sqrt{2}; 1)$. Оценим границы промежутка. Так как $\sqrt{2} \approx 1,41$, то $1 - \sqrt{2} \approx -0,41$. Получаем промежуток приблизительно $(-0,41; 1)$. Найдем целые числа, принадлежащие этому интервалу: Единственное целое число из этого промежутка — $0$. **Ответ:** $0$. --- **2)** $\log_{36}(x + 1) \leq 0,5$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 1 > 0 \iff x > -1$. Представим число $0,5$ в виде логарифма по основанию $36$: $$ 0,5 = \log_{36} 36^{0,5} = \log_{36} \sqrt{36} = \log_{36} 6 $$ Исходное неравенство принимает вид: $$ \log_{36}(x + 1) \leq \log_{36} 6 $$ Так как основание логарифма $36 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ \begin{cases} x + 1 \leq 6, \\ x + 1 > 0 \end{cases} $$ Решим систему: $$ \begin{cases} x \leq 5, \\ x > -1 \end{cases} \iff -1 < x \leq 5 $$ Решением неравенства является промежуток: $x \in (-1; 5]$. Найдем целые числа, принадлежащие этому полуинтервалу: $0, 1, 2, 3, 4, 5$. **Ответ:** $0, 1, 2, 3, 4, 5$.