ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.19

### 1) $$ \frac{2 \lg x}{\lg(8x - 7)} = 1 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} x > 0, \\ 8x - 7 > 0, \\ \lg(8x - 7) \neq 0; \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x > \frac{7}{8}, \\ 8x - 7 \neq 1; \end{cases} \iff \begin{cases} x > \frac{7}{8}, \\ x \neq 1. \end{cases} $$ Умножим обе части уравнения на $\lg(8x - 7) \neq 0$: $$ 2 \lg x = \lg(8x - 7) $$ Внесем множитель 2 в показатель степени под знаком логарифма: $$ \lg x^2 = \lg(8x - 7) $$ Потенцируя, получаем: $$ x^2 = 8x - 7 $$ $$ x^2 - 8x + 7 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$. С учетом ОДЗ: * при $x = 1$ знаменатель обращается в ноль ($\lg(8 \cdot 1 - 7) = \lg 1 = 0$), значит, $x = 1$ — посторонний корень; * корень $x = 7$ удовлетворяет условиям ($7 > \frac{7}{8}$ и $7 \neq 1$). Ответ: $7$. --- ### 2) $$ \frac{\log_4(x^2 + x - 2) - 1}{\log_4(x - 1)} = 0 $$ Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определен и отличен от нуля: $$ \begin{cases} \log_4(x^2 + x - 2) - 1 = 0, \\ \log_4(x - 1) \neq 0, \\ x - 1 > 0, \\ x^2 + x - 2 > 0. \end{cases} $$ Решим уравнение из числителя: $$ \log_4(x^2 + x - 2) = 1 $$ $$ x^2 + x - 2 = 4^1 $$ $$ x^2 + x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$. Проверим найденные значения по ограничениям знаменателя: * $x - 1 > 0 \implies x > 1$, следовательно, корень $x = -3$ не подходит ($ -3 < 1 $); * $\log_4(x - 1) \neq 0 \implies x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$, следовательно, корень $x = 2$ также является посторонним, так как обращает знаменатель в ноль. Таким образом, уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет. --- ### 3) $$ \log_x (2x^2 - 7x + 12) = 2 $$ Запишем ограничения на переменную: 1. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$. 2. Выражение под знаком логарифма: $2x^2 - 7x + 12 > 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 49 - 96 = -47 < 0$, а старший коэффициент $2 > 0$, поэтому неравенство $2x^2 - 7x + 12 > 0$ верно при всех действительных $x$. По определению логарифма: $$ 2x^2 - 7x + 12 = x^2 $$ $$ x^2 - 7x + 12 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$. Оба значения удовлетворяют условиям $x > 0$ и $x \neq 1$. Ответ: $3;\ 4$. --- ### 4) $$ \log_{x+1}(x+3) = 2 $$ Ограничения для основания и аргумента логарифма: $$ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ x + 1 \neq 1, \\ x + 3 > 0; \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1, \\ x \neq 0, \\ x > -3; \end{cases} \iff x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty). $$ По определению логарифма: $$ x + 3 = (x + 1)^2 $$ Раскроем скобки в правой части: $$ x + 3 = x^2 + 2x + 1 $$ $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. Проверим найденные корни: * корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > -1$ (посторонний корень); * корень $x = 1$ удовлетворяет всем условиям ($1 > -1$ и $1 \neq 0$). Ответ: $1$. --- ### 5) $$ \log_{x-2}(2x^2 - 11x + 16) = 2 $$ Ограничения для основания и аргумента логарифма: $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x - 2 \neq 1, \\ 2x^2 - 11x + 16 > 0; \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x \neq 3, \\ 2x^2 - 11x + 16 > 0. \end{cases} $$ По определению логарифма: $$ 2x^2 - 11x + 16 = (x - 2)^2 $$ Раскроем скобки в правой части: $$ 2x^2 - 11x + 16 = x^2 - 4x + 4 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x^2 - 7x + 12 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$. Проверим найденные корни: * значение $x = 3$ не подходит, так как основание логарифма не может быть равно единице ($x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$); * значение $x = 4$ удовлетворяет условиям: $4 > 2$, $4 \neq 3$, а аргумент $2 \cdot 4^2 - 11 \cdot 4 + 16 = 32 - 44 + 16 = 4 > 0$. Ответ: $4$.