ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.20

1) Решите уравнение: $$ \frac{2 \log_2 x}{\log_2 (3 - 2x)} = 1 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ 3 - 2x > 0, \\ \log_2 (3 - 2x) \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ 2x < 3, \\ 3 - 2x \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x < 1{,}5, \\ x \neq 1. \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 1{,}5)$. Умножим обе части уравнения на знаменатель $\log_2 (3 - 2x) \neq 0$: $$ 2 \log_2 x = \log_2 (3 - 2x) $$ $$ \log_2 x^2 = \log_2 (3 - 2x) $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ x^2 = 3 - 2x $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = -3 $$ Проверим полученные корни по ОДЗ: - $x = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как при $x = 1$ знаменатель обращается в ноль ($\log_2(3 - 2 \cdot 1) = \log_2 1 = 0$); - $x = -3$ не принадлежит ОДЗ, так как не выполняется условие $x > 0$. Следовательно, уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет. 4) Решите уравнение: $$ \log_x (x + 6) = 2 $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1, \\ x + 6 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. По определению логарифма: $$ x^2 = x + 6 $$ $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -2 $$ Проверим корни по ОДЗ: - $x = -2$ не подходит, так как основание логарифма должно быть положительным ($x > 0$); - $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $3 \neq 1$). Ответ: $3$. 2) Решите уравнение: $$ \frac{\log_5 (x^2 - 9x + 25) - 1}{\lg(x - 3)} = 0 $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x^2 - 9x + 25 > 0, \\ x - 3 > 0, \\ \lg(x - 3) \neq 0 \end{cases} $$ Для трехчлена $x^2 - 9x + 25$: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 81 - 100 = -19 < 0$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, неравенство $x^2 - 9x + 25 > 0$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$. Условия для знаменателя: $$ \begin{cases} x - 3 > 0, \\ x - 3 \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 3, \\ x \neq 4. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$ \log_5 (x^2 - 9x + 25) - 1 = 0 $$ $$ \log_5 (x^2 - 9x + 25) = 1 $$ $$ x^2 - 9x + 25 = 5^1 $$ $$ x^2 - 9x + 20 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 4, \quad x_2 = 5 $$ Проверим корни с учетом ОДЗ: - $x = 4$ — посторонний корень, так как обращает знаменатель дроби в ноль; - $x = 5$ входит в ОДЗ ($5 > 3$ и $5 \neq 4$). Ответ: $5$. 5) Решите уравнение: $$ \log_{2x-3} (3x^2 - 7x + 3) = 2 $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 2x - 3 > 0, \\ 2x - 3 \neq 1, \\ 3x^2 - 7x + 3 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1{,}5, \\ x \neq 2, \\ 3x^2 - 7x + 3 > 0. \end{cases} $$ По определению логарифма: $$ 3x^2 - 7x + 3 = (2x - 3)^2 $$ $$ 3x^2 - 7x + 3 = 4x^2 - 12x + 9 $$ $$ 4x^2 - 3x^2 - 12x + 7x + 9 - 3 = 0 $$ $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 2, \quad x_2 = 3 $$ Проверим корни: - $x = 2$ не подходит, так как при $x = 2$ основание логарифма равно $2 \cdot 2 - 3 = 1$, что противоречит условию $x \neq 2$; - $x = 3$ удовлетворяет всем условиям: основание $2 \cdot 3 - 3 = 3 > 0$ и $3 \neq 1$; выражение $3 \cdot 3^2 - 7 \cdot 3 + 3 = 27 - 21 + 3 = 9 > 0$. Ответ: $3$. 3) Решите уравнение: $$ \log_{x-1} (x^2 - 5x + 7) = 1 $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 1 > 0, \\ x - 1 \neq 1, \\ x^2 - 5x + 7 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1, \\ x \neq 2, \\ x^2 - 5x + 7 > 0. \end{cases} $$ Для трехчлена $x^2 - 5x + 7$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 < 0$, старший коэффициент $1 > 0$, поэтому $x^2 - 5x + 7 > 0$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. ОДЗ: $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$. По определению логарифма: $$ x^2 - 5x + 7 = (x - 1)^1 $$ $$ x^2 - 5x + 7 = x - 1 $$ $$ x^2 - 6x + 8 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 2, \quad x_2 = 4 $$ Проверим корни: - $x = 2$ не подходит по ОДЗ, так как основание логарифма не может быть равным $1$ ($2 - 1 = 1$); - $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 1$ и $4 \neq 2$). Ответ: $4$.