ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.21

**1)** Решите неравенство: $$ (x^2 - 6x + 5)(3x - 1)^2 \leq 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 - 6x + 5$ на множители: корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$, откуда: $$ x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) $$ Перепишем исходное неравенство: $$ (x - 1)(x - 5)(3x - 1)^2 \leq 0 $$ Множитель $(3x - 1)^2 \geq 0$ при всех действительных $x$: 1. При $3x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{3}$, левая часть обращается в нуль: $0 \leq 0$ — верное числовое равенство. Значит, $x = \frac{1}{3}$ является решением. 2. При $x \neq \frac{1}{3}$ множитель $(3x - 1)^2 > 0$, поэтому разделим обе части неравенства на него, не меняя знак: $$ (x - 1)(x - 5) \leq 0 $$ Решением этого неравенства методом интервалов является отрезок $[1; 5]$. Объединяя найденные решения, получаем: $x \in \left\{\frac{1}{3}\right\} \cup [1; 5]$. **Ответ:** $\left\{\frac{1}{3}\right\} \cup [1; 5]$ --- **2)** Решите неравенство: $$ (x^2 - x - 2)(x^2 - 4x + 3) \geq 0 $$ Разложим на множители каждый из квадратных трёхчленов: 1. Для $x^2 - x - 2 = 0$ корни $x = -1$ и $x = 2$, значит: $$ x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2) $$ 2. Для $x^2 - 4x + 3 = 0$ корни $x = 1$ и $x = 3$, значит: $$ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) $$ Получаем неравенство: $$ (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) \geq 0 $$ Применим метод интервалов. На числовой прямой отметим нули функции: $-1$, $1$, $2$, $3$. Все корни имеют кратность $1$, поэтому знаки выражения чередуются: * на интервале $(3; +\infty)$ выражение принимает знак «$+$»; * на $(2; 3)$ — «$-$»; * на $(1; 2)$ — «$+$»; * на $(-1; 1)$ — «$-$»; * на $(-\infty; -1)$ — «$+$». Так как неравенство нестрогое ($\geq 0$), граничные точки включаются в ответ. **Ответ:** $(-\infty; -1] \cup [1; 2] \cup [3; +\infty)$ --- **3)** Решите неравенство: $$ (x + 7)\sqrt{x + x^2 - 20} > 0 $$ Так как неравенство строгое, квадратный корень должен быть строго больше нуля: 1. Выражение под знаком корня должно быть строго положительным: $$ x^2 + x - 20 > 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 + x - 20 = 0$: $x_1 = -5$, $x_2 = 4$. Тогда: $$ (x + 5)(x - 4) > 0 \iff x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty) $$ 2. При $x^2 + x - 20 > 0$ значение корня $\sqrt{x^2 + x - 20} > 0$. Разделив обе части исходного неравенства на это положительное выражение, получим: $$ x + 7 > 0 \iff x > -7 $$ 3. Найдем пересечение условий: $$ \begin{cases} x > -7, \\ x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty) \end{cases} \iff x \in (-7; -5) \cup (4; +\infty) $$ **Ответ:** $(-7; -5) \cup (4; +\infty)$ --- **4)** Решите неравенство: $$ \frac{x - 1}{x + 1} < x $$ Перенесем $x$ в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{x - 1}{x + 1} - x < 0 $$ $$ \frac{x - 1 - x(x + 1)}{x + 1} < 0 $$ $$ \frac{x - 1 - x^2 - x}{x + 1} < 0 $$ $$ \frac{-x^2 - 1}{x + 1} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{x^2 + 1}{x + 1} > 0 $$ Так как $x^2 \geq 0$ при любом действительном значении $x$, то числитель $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком ее знаменателя: $$ x + 1 > 0 \iff x > -1 $$ **Ответ:** $(-1; +\infty)$