ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.16

1) $\log_{\sqrt{3}}{(2^x - 3)} + \log_{\sqrt{3}}{(2^x - 1)} = 2$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 2^x - 3 > 0, \\ 2^x - 1 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x > 3, \\ 2^x > 1; \end{cases} \implies 2^x > 3 \implies x > \log_2 3 $$ Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, преобразуем левую часть уравнения: $$ \log_{\sqrt{3}} \big((2^x - 3)(2^x - 1)\big) = 2 $$ По определению логарифма: $$ (2^x - 3)(2^x - 1) = (\sqrt{3})^2 $$ $$ (2^x - 3)(2^x - 1) = 3 $$ Пусть $t = 2^x$, причем с учетом ОДЗ $t > 3$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ (t - 3)(t - 1) = 3 $$ $$ t^2 - 4t + 3 = 3 $$ $$ t^2 - 4t = 0 $$ $$ t(t - 4) = 0 $$ Отсюда: $t_1 = 0$ — не удовлетворяет условию $t > 3$; $t_2 = 4$ — удовлетворяет условию $t > 3$. Выполним обратную замену: $$ 2^x = 4 $$ $$ 2^x = 2^2 \implies x = 2 $$ Значение $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 = \log_2 4 > \log_2 3$). Ответ: $2$. --- 2) $\lg{(3^x - 4)} + \lg{(3^x - 2)} = 1$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 3^x - 4 > 0, \\ 3^x - 2 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} 3^x > 4, \\ 3^x > 2; \end{cases} \implies 3^x > 4 \implies x > \log_3 4 $$ Применим свойство суммы логарифмов и представим правую часть в виде десятичного логарифма ($1 = \lg 10$): $$ \lg \big((3^x - 4)(3^x - 2)\big) = \lg 10 $$ Приравниваем подлогарифмические выражения: $$ (3^x - 4)(3^x - 2) = 10 $$ Пусть $t = 3^x$, причем по ОДЗ $t > 4$. Получаем квадратное уравнение: $$ (t - 4)(t - 2) = 10 $$ $$ t^2 - 6t + 8 = 10 $$ $$ t^2 - 6t - 2 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44 = 4 \cdot 11 $$ $$ t = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11} $$ Проверим корни на соответствие условию $t > 4$: - $t_1 = 3 - \sqrt{11} < 0$, так как $\sqrt{11} > \sqrt{9} = 3$, следовательно, не удовлетворяет условию $t > 4$. - $t_2 = 3 + \sqrt{11} > 3 + 3 = 6 > 4$, удовлетворяет условию $t > 4$. Выполним обратную замену: $$ 3^x = 3 + \sqrt{11} $$ $$ x = \log_3(3 + \sqrt{11}) $$ Ответ: $\log_3(3 + \sqrt{11})$.