ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.18

**1)** $3 \log_8^2(-x) - 2 \log_8(-x) - 1 = 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$-x > 0 \iff x < 0$$ Пусть $t = \log_8(-x)$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$3t^2 - 2t - 1 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$$ Корни уравнения: $$t_1 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1$$ $$t_2 = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}$$ Вернемся к замене: 1. $\log_8(-x) = 1$ $$-x = 8^1 \implies x = -8$$ Корень удовлетворяет ОДЗ ($ -8 < 0 $). 2. $\log_8(-x) = -\frac{1}{3}$ $$-x = 8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \implies x = -\frac{1}{2}$$ Корень удовлетворяет ОДЗ ($ -\frac{1}{2} < 0 $). Ответ: $-8$; $-\frac{1}{2}$. --- **2)** $2 \log_7 \sqrt{x} = \log_7^2 x - 6$ ОДЗ: $x > 0$. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма степени $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$: $$2 \log_7 \sqrt{x} = 2 \log_7 x^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_7 x = \log_7 x$$ Уравнение принимает вид: $$\log_7 x = \log_7^2 x - 6$$ $$\log_7^2 x - \log_7 x - 6 = 0$$ Пусть $t = \log_7 x$. Получаем уравнение: $$t^2 - t - 6 = 0$$ По теореме Виета: $$t_1 = 3$$ $$t_2 = -2$$ Вернемся к замене: 1. $\log_7 x = 3 \implies x = 7^3 = 343$ Корень удовлетворяет ОДЗ. 2. $\log_7 x = -2 \implies x = 7^{-2} = \frac{1}{49}$ Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{49}$; $343$. --- **3)** $3 \log_3 x + 3 \log_x 3 = 10$ ОДЗ: $$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$$ Используем формулу перехода к другому основанию $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$: $$3 \log_3 x + \frac{3}{\log_3 x} = 10$$ Пусть $t = \log_3 x$, причем $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$): $$3t + \frac{3}{t} = 10$$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$3t^2 - 10t + 3 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$$ Корни уравнения: $$t_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3$$ $$t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$$ Вернемся к замене: 1. $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$ Корень удовлетворяет ОДЗ. 2. $\log_3 x = \frac{1}{3} \implies x = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$ Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\sqrt[3]{3}$; $27$. --- **4)** $\frac{\lg x}{\lg x + 2} - \frac{2}{\lg x - 1} = 1$ ОДЗ: $$\begin{cases} x > 0 \\ \lg x + 2 \neq 0 \\ \lg x - 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0 \\ \lg x \neq -2 \\ \lg x \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 0{,}01 \\ x \neq 10 \end{cases}$$ Пусть $t = \lg x$, где $t \neq -2$ и $t \neq 1$. Получаем уравнение: $$\frac{t}{t + 2} - \frac{2}{t - 1} = 1$$ Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 1) - 2(t + 2)}{(t + 2)(t - 1)} = 1$$ $$\frac{t^2 - t - 2t - 4}{t^2 + t - 2} = 1$$ $$\frac{t^2 - 3t - 4}{t^2 + t - 2} = 1$$ Так как знаменатель не равен нулю при допустимых значениях $t$, приравниваем: $$t^2 - 3t - 4 = t^2 + t - 2$$ $$-3t - 4 = t - 2$$ $$-4t = 2$$ $$t = -\frac{1}{2}$$ Значение $t = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет ограничениям ($t \neq -2$, $t \neq 1$). Вернемся к замене: $$\lg x = -\frac{1}{2}$$ $$x = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$ Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.