ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 15 - 15.13

1) $\log_4(x - 3) + \log_4 x = 1$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 3 > 0, \\ x > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3, \\ x > 0; \end{cases} \implies x > 3. $$ Используем свойство суммы логарифмов: $$ \log_4((x - 3)x) = 1 $$ По определению логарифма: $$ x(x - 3) = 4^1 $$ $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$. Проверим корни по ОДЗ ($x > 3$): - $x = 4$ — удовлетворяет ОДЗ; - $x = -1$ — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень). Ответ: 4. --- 2) $\log_{0,5}(4 - x) + \log_{0,5}(x - 1) = -1$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 4 - x > 0, \\ x - 1 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4, \\ x > 1; \end{cases} \implies 1 < x < 4. $$ Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: $$ \log_{0,5}((4 - x)(x - 1)) = -1 $$ По определению логарифма: $$ (4 - x)(x - 1) = (0,5)^{-1} $$ Так как $(0,5)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$, получаем: $$ 4x - 4 - x^2 + x = 2 $$ $$ -x^2 + 5x - 6 = 0 $$ $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($1 < x < 4$). Ответ: 2; 3. --- 3) $\lg(x - 2) + \lg(x - 3) = 1 - \lg 5$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x - 3 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2, \\ x > 3; \end{cases} \implies x > 3. $$ Преобразуем правую часть уравнения, учитывая, что $1 = \lg 10$: $$ 1 - \lg 5 = \lg 10 - \lg 5 = \lg\left(\frac{10}{5}\right) = \lg 2 $$ Запишем исходное уравнение в виде: $$ \lg((x - 2)(x - 3)) = \lg 2 $$ Потенцируем: $$ (x - 2)(x - 3) = 2 $$ $$ x^2 - 5x + 6 = 2 $$ $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 4$, $x_2 = 1$. С учетом ОДЗ ($x > 3$): - $x = 4$ — корень уравнения; - $x = 1$ — посторонний корень. Ответ: 4. --- 4) $\log_3(2x - 1) + \log_3(x - 4) = 2$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 2x - 1 > 0, \\ x - 4 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0,5, \\ x > 4; \end{cases} \implies x > 4. $$ Применим свойство логарифма произведения: $$ \log_3((2x - 1)(x - 4)) = 2 $$ $$ (2x - 1)(x - 4) = 3^2 $$ $$ 2x^2 - 8x - x + 4 = 9 $$ $$ 2x^2 - 9x - 5 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{9 + 11}{4} = 5, \quad x_2 = \frac{9 - 11}{4} = -0,5 $$ С учетом ОДЗ ($x > 4$): - $x = 5$ — подходит; - $x = -0,5$ — посторонний корень. Ответ: 5. --- 5) $\lg \sqrt{5x - 4} + \lg \sqrt{x + 1} = 2 + \lg 0,18$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 5x - 4 > 0, \\ x + 1 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0,8, \\ x > -1; \end{cases} \implies x > 0,8. $$ Преобразуем левую и правую части уравнения: - Левая часть: $\lg \sqrt{5x - 4} + \lg \sqrt{x + 1} = \lg \sqrt{(5x - 4)(x + 1)}$; - Правая часть: $2 + \lg 0,18 = \lg 100 + \lg 0,18 = \lg(100 \cdot 0,18) = \lg 18$. Получаем: $$ \lg \sqrt{(5x - 4)(x + 1)} = \lg 18 $$ $$ \sqrt{(5x - 4)(x + 1)} = 18 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ (5x - 4)(x + 1) = 18^2 $$ $$ 5x^2 + 5x - 4x - 4 = 324 $$ $$ 5x^2 + x - 328 = 0 $$ $$ D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-328) = 1 + 6560 = 6561 = 81^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 + 81}{10} = 8, \quad x_2 = \frac{-1 - 81}{10} = -8,2 $$ С учетом ОДЗ ($x > 0,8$): - $x = 8$ — подходит; - $x = -8,2$ — посторонний корень. Ответ: 8. --- 6) $\lg(x - 1) + \lg(x - 3) = \lg(1,5x - 3)$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 1 > 0, \\ x - 3 > 0, \\ 1,5x - 3 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1, \\ x > 3, \\ x > 2; \end{cases} \implies x > 3. $$ Преобразуем уравнение: $$ \lg((x - 1)(x - 3)) = \lg(1,5x - 3) $$ $$ (x - 1)(x - 3) = 1,5x - 3 $$ $$ x^2 - 4x + 3 = 1,5x - 3 $$ $$ x^2 - 5,5x + 6 = 0 $$ Умножим обе части на 2: $$ 2x^2 - 11x + 12 = 0 $$ $$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{11 + 5}{4} = 4, \quad x_2 = \frac{11 - 5}{4} = 1,5 $$ С учетом ОДЗ ($x > 3$): - $x = 4$ — удовлетворяет ОДЗ; - $x = 1,5$ — посторонний корень. Ответ: 4. --- 7) $\log_2(5 - x) - \log_2(x - 1) = 1 - \log_2(x + 2)$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 5 - x > 0, \\ x - 1 > 0, \\ x + 2 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5, \\ x > 1, \\ x > -2; \end{cases} \implies 1 < x < 5. $$ Перенесем логарифмы с отрицательным знаком для удобства: $$ \log_2(5 - x) + \log_2(x + 2) = 1 + \log_2(x - 1) $$ Так как $1 = \log_2 2$, запишем: $$ \log_2((5 - x)(x + 2)) = \log_2(2(x - 1)) $$ Потенцируем: $$ (5 - x)(x + 2) = 2(x - 1) $$ $$ 5x + 10 - x^2 - 2x = 2x - 2 $$ $$ -x^2 + 3x + 10 = 2x - 2 $$ $$ x^2 - x - 12 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$. С учетом ОДЗ ($1 < x < 5$): - $x = 4$ — подходит; - $x = -3$ — посторонний корень. Ответ: 4. --- 8) $2\log_5(x + 1) - \log_5(x + 9) = \log_5(3x - 17)$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ x + 9 > 0, \\ 3x - 17 > 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1, \\ x > -9, \\ x > \frac{17}{3}; \end{cases} \implies x > 5\frac{2}{3}. $$ Перенесем $\log_5(x + 9)$ в правую часть: $$ 2\log_5(x + 1) = \log_5(3x - 17) + \log_5(x + 9) $$ Внесем коэффициент в показатель степени и применим свойство суммы логарифмов: $$ \log_5((x + 1)^2) = \log_5((3x - 17)(x + 9)) $$ Потенцируем: $$ (x + 1)^2 = (3x - 17)(x + 9) $$ $$ x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 27x - 17x - 153 $$ $$ x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 10x - 153 $$ $$ 2x^2 + 8x - 154 = 0 $$ Разделим уравнение на 2: $$ x^2 + 4x - 77 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 7$, $x_2 = -11$. С учетом ОДЗ ($x > 5\frac{2}{3}$): - $x = 7$ — удовлетворяет ОДЗ ($7 > 5\frac{2}{3}$); - $x = -11$ — посторонний корень. Ответ: 7.