ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 13 - 13.46

### 1) $y = -0{,}4x + 2$ 1. **Нахождение обратной функции:** Функция $y = -0{,}4x + 2$ определена на $\mathbb{R}$, является линейной и строго убывающей (так как угловой коэффициент $k = -0{,}4 < 0$), следовательно, она обратима на всей числовой прямой. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$. Выразим переменную $x$ через $y$: $$ 0{,}4x = 2 - y $$ $$ x = \frac{2 - y}{0{,}4} = \frac{2 - y}{\frac{2}{5}} = \frac{5(2 - y)}{2} = 5 - 2{,}5y $$ Поменяв местами $x$ и $y$, получаем формулу функции, обратной к данной: $$ y = -2{,}5x + 5 $$ Область определения и область значений обратной функции: $D(f^{-1}) = (-\infty; +\infty)$, $E(f^{-1}) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Построение графиков:** Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$. Оба графика представляют собой прямые линии. Для их построения достаточно найти по две точки: * Для прямой $y = -0{,}4x + 2$: * если $x = 0$, то $y = 2$ — точка $(0; 2)$; * если $x = 5$, то $y = -0{,}4 \cdot 5 + 2 = 0$ — точка $(5; 0)$. * Для прямой $y = -2{,}5x + 5$: * если $x = 0$, то $y = 5$ — точка $(0; 5)$; * если $x = 2$, то $y = -2{,}5 \cdot 2 + 5 = 0$ — точка $(2; 0)$. Для построения в одной системе координат: 1. Провести координатные оси $Ox$ и $Oy$, отметить начало координат и единичный отрезок. 2. Построить прямую $y = -0{,}4x + 2$, проходящую через точки $(0; 2)$ и $(5; 0)$. 3. Построить прямую $y = -2{,}5x + 5$, проходящую через точки $(2; 0)$ и $(0; 5)$. 4. Пунктирной линией провести прямую $y = x$, относительно которой построенные прямые зеркально симметричны. --- ### 2) $y = \sqrt{x} - 2$ 1. **Нахождение обратной функции:** Функция $y = \sqrt{x} - 2$ определена при всех $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0; +\infty)$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, область значений функции: $E(f) = [-2; +\infty)$. Функция является строго возрастающей на всей области определения, а значит, обратима. Выразим $x$ через $y$: $$ \sqrt{x} = y + 2 $$ Так как $y \ge -2$, возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x = (y + 2)^2 $$ Поменяв местами $x$ и $y$, получаем формулу обратной функции: $$ y = (x + 2)^2, \quad \text{где } x \ge -2 $$ Область определения обратной функции: $D(f^{-1}) = [-2; +\infty)$. Область значений обратной функции: $E(f^{-1}) = [0; +\infty)$. 2. **Построение графиков:** Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$. * График функции $y = \sqrt{x} - 2$ представляет собой ветвь параболы, направленную вправо, со смещением на 2 единицы вниз: * при $x = 0$: $y = -2$ — начальная точка $(0; -2)$; * при $x = 1$: $y = -1$ — точка $(1; -1)$; * при $x = 4$: $y = 0$ — точка $(4; 0)$; * при $x = 9$: $y = 1$ — точка $(9; 1)$. * График обратной функции $y = (x + 2)^2$ при $x \ge -2$ представляет собой правую ветвь параболы с вершиной в точке $(-2; 0)$, направленную вверх: * при $x = -2$: $y = 0$ — начальная точка (вершина) $(-2; 0)$; * при $x = -1$: $y = 1$ — точка $(-1; 1)$; * при $x = 0$: $y = 4$ — точка $(0; 4)$; * при $x = 1$: $y = 9$ — точка $(1; 9)$. Для построения в одной системе координат: 1. Провести координатные оси $Ox$ и $Oy$, задать масштаб. 2. Построить по указанным точкам ветвь $y = \sqrt{x} - 2$, начиная от точки $(0; -2)$ вправо-вверх. 3. Построить по указанным точкам правую ветвь параболы $y = (x + 2)^2$ при $x \ge -2$, начиная от точки $(-2; 0)$ вправо-вверх. 4. Пунктирной линией нанести прямую $y = x$ для наглядности симметрии графиков.