ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.8

1) Решим неравенство: $$ \left(\frac{1}{4}\right)^{6x - x^2} > \left(\frac{1}{4}\right)^5 $$ Так как основание степени $0 < \frac{1}{4} < 1$, показательная функция $y = \left(\frac{1}{4}\right)^t$ убывает. Переходя к показателям, меняем знак неравенства на противоположный: $$ 6x - x^2 < 5 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ x^2 - 6x + 5 > 0 $$ Найдём нули квадратного трёхчлена, решив уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 = 4^2 $$ $$ x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5 $$ Разложим на множители: $$ (x - 1)(x - 5) > 0 $$ Применим метод интервалов. Неравенство выполняется при $x < 1$ или $x > 5$. Ответ: $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$. --- 2) Решим неравенство: $$ 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2} \geq \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x} $$ Приведём обе части неравенства к основанию $5$, используя свойства степени $125 = 5^3$, $\frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $\frac{1}{25} = 5^{-2}$: $$ 5^3 \cdot \left(5^{-1}\right)^{3x^2} \geq \left(5^{-2}\right)^{-4x} $$ $$ 5^3 \cdot 5^{-3x^2} \geq 5^{8x} $$ $$ 5^{3 - 3x^2} \geq 5^{8x} $$ Так как основание $5 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ 3 - 3x^2 \geq 8x $$ Перенесём все члены в одну часть: $$ 3x^2 + 8x - 3 \leq 0 $$ Найдём корни уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$: $$ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3, \quad x_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Ветви параболы направлены вверх, значит, трёхчлен неположителен между корнями, включая границы: $$ -3 \leq x \leq \frac{1}{3} $$ Ответ: $\left[-3; \frac{1}{3}\right]$. --- 3) Решим неравенство: $$ 0,6^{\frac{x+5}{x^2-9}} < 1 $$ Представим единицу как степень с основанием $0,6$: $1 = 0,6^0$. $$ 0,6^{\frac{x+5}{x^2-9}} < 0,6^0 $$ Так как основание $0 < 0,6 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: $$ \frac{x+5}{x^2-9} > 0 $$ Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $$ \frac{x+5}{(x-3)(x+3)} > 0 $$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов: * Нуль числителя: $x = -5$. * Нули знаменателя: $x = -3$, $x = 3$. Отметим эти точки на числовой прямой (все точки выколотые) и определим знаки выражения на интервалах: * при $x > 3$: выражение положительно ($+$); * при $-3 < x < 3$: выражение отрицательно ($-$) (например, при $x = 0$: $\frac{5}{-9} < 0$); * при $-5 < x < -3$: выражение положительно ($+$) (например, при $x = -4$: $\frac{1}{(-7)(-1)} > 0$); * при $x < -5$: выражение отрицательно ($-$). Нам подходят промежутки со знаком «$+$». Ответ: $(-5; -3) \cup (3; +\infty)$. --- 4) Решим неравенство: $$ \left(\sin \frac{\pi}{6}\right)^{x-0,5} > \sqrt{2} $$ Так как $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, а $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0,5}$, перепишем неравенство с основанием $2$: $$ \left(2^{-1}\right)^{x-0,5} > 2^{0,5} $$ $$ 2^{-(x-0,5)} > 2^{0,5} $$ $$ 2^{-x + 0,5} > 2^{0,5} $$ Так как основание $2 > 1$, показательная функция возрастает, знак неравенства не меняется: $$ -x + 0,5 > 0,5 $$ $$ -x > 0 $$ $$ x < 0 $$ Ответ: $(-\infty; 0)$. --- 5) Решим неравенство: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{x}} \leq \frac{9}{4} $$ Заметим, что $\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{x}} \leq \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} $$ Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, знак неравенства меняется: $$ \frac{4}{x} \geq -2 $$ Перенесём слагаемое в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$ \frac{4}{x} + 2 \geq 0 $$ $$ \frac{4 + 2x}{x} \geq 0 $$ $$ \frac{2(x + 2)}{x} \geq 0 $$ Разделим обе части на $2$: $$ \frac{x + 2}{x} \geq 0 $$ Применим метод интервалов: * Нуль числителя: $x = -2$ (точка закрашенная, так как неравенство нестрогое). * Нуль знаменателя: $x = 0$ (точка выколотая, так как деление на нуль невозможно). Знаки на интервалах: * при $x > 0$: выражение положительно ($+$); * при $-2 \leq x < 0$: выражение отрицательно ($-$) (например, при $x = -1$: $\frac{1}{-1} < 0$); * при $x \leq -2$: выражение положительно ($+$). Ответ: $(-\infty; -2] \cup (0; +\infty)$. --- 6) Решим неравенство: $$ 4 \cdot 0,5^{x(x+3)} \geq 0,25^{2x} $$ Представим все числа в виде степеней с основанием $2$: * $4 = 2^2$; * $0,5 = 2^{-1}$; * $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$. Подставим преобразования: $$ 2^2 \cdot \left(2^{-1}\right)^{x^2 + 3x} \geq \left(2^{-2}\right)^{2x} $$ $$ 2^2 \cdot 2^{-x^2 - 3x} \geq 2^{-4x} $$ $$ 2^{2 - x^2 - 3x} \geq 2^{-4x} $$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 2 - x^2 - 3x \geq -4x $$ Перенесём все члены в правую часть: $$ x^2 + 3x - 4x - 2 \leq 0 $$ $$ x^2 - x - 2 \leq 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$: По теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$ (x + 1)(x - 2) \leq 0 $$ Ветви параболы направлены вверх, выражение неположительно между корнями: $$ -1 \leq x \leq 2 $$ Ответ: $[-1; 2]$.