ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.6

1) $f(x) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x}$ Функция определена, если выражение под знаком квадратного корня неотрицательно: $$ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x \geq 0 $$ $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1 $$ Так как $1 = \left(\frac{1}{2}\right)^0$, получаем: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^0 $$ Показательная функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^t$ является убывающей, так как её основание $0 < \frac{1}{2} < 1$. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \geq 0 $$ Следовательно, область определения функции: $D(f) = [0; +\infty)$. 2) $f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x+2}} - 27}$ Функция определена при выполнении следующих условий: 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3^{x+2} \geq 0$. Данное неравенство выполняется при всех действительных значениях $x$, так как показательная функция принимает только положительные значения ($3^{x+2} > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$). 2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ \sqrt{3^{x+2}} - 27 \neq 0 $$ Решим уравнение для нахождения недопустимых значений $x$: $$ \sqrt{3^{x+2}} = 27 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 3^{x+2} = 27^2 $$ $$ 3^{x+2} = (3^3)^2 $$ $$ 3^{x+2} = 3^6 $$ Так как основания равны, приравниваем показатели: $$ x + 2 = 6 $$ $$ x = 4 $$ Значит, $x \neq 4$. Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. **Ответ:** 1) $[0; +\infty)$; 2) $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.