ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.10

### 1) Решите неравенство: $7^{x+2} - 14 \cdot 7^x > 5$ Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки: $$ 7^x \cdot 7^2 - 14 \cdot 7^x > 5 $$ $$ 7^x (49 - 14) > 5 $$ $$ 35 \cdot 7^x > 5 $$ Разделим обе части неравенства на $35$: $$ 7^x > \frac{5}{35} $$ $$ 7^x > \frac{1}{7} $$ $$ 7^x > 7^{-1} $$ Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ x > -1 $$ **Ответ:** $(-1; +\infty)$. --- ### 2) Решите неравенство: $9 \cdot 3^{x-1} + 3^x < 36$ Преобразуем выражение в левой части: $$ 9 \cdot \frac{3^x}{3} + 3^x < 36 $$ $$ 3 \cdot 3^x + 3^x < 36 $$ $$ 4 \cdot 3^x < 36 $$ Разделим обе части неравенства на $4$: $$ 3^x < 9 $$ $$ 3^x < 3^2 $$ Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x < 2 $$ **Ответ:** $(-\infty; 2)$. --- ### 3) Решите неравенство: $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} > 56$ Вынесем $2^x$ за скобки: $$ 2^x \left(1 + 2^{-1} + 2^{-2}\right) > 56 $$ $$ 2^x \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) > 56 $$ $$ 2^x \cdot \frac{7}{4} > 56 $$ Умножим обе части неравенства на $\frac{4}{7}$: $$ 2^x > 56 \cdot \frac{4}{7} $$ $$ 2^x > 32 $$ $$ 2^x > 2^5 $$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x > 5 $$ **Ответ:** $(5; +\infty)$. --- ### 4) Решите неравенство: $\left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} \geq 26$ Вынесем $\left(\frac{1}{5}\right)^x$ за скобки: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{5}\right)^1\right) \geq 26 $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \left(5 + \frac{1}{5}\right) \geq 26 $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot \frac{26}{5} \geq 26 $$ Разделим обе части на $\frac{26}{5}$ (умножим на $\frac{5}{26}$): $$ \left(\frac{1}{5}\right)^x \geq 5 $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^x \geq \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} $$ Так как основание $0 < \frac{1}{5} < 1$, показательная функция убывает, и знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \leq -1 $$ **Ответ:** $(-\infty; -1]$. --- ### 5) Решите неравенство: $2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^{x+3} \leq 650$ Используем свойство степеней и вынесем $6^x$ за скобки: $$ 2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^3 \cdot 6^x \leq 650 $$ $$ 6^x (2 + 3 \cdot 216) \leq 650 $$ $$ 6^x (2 + 648) \leq 650 $$ $$ 650 \cdot 6^x \leq 650 $$ Разделим обе части неравенства на $650$: $$ 6^x \leq 1 $$ $$ 6^x \leq 6^0 $$ Так как основание $6 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x \leq 0 $$ **Ответ:** $(-\infty; 0]$. --- ### 6) Решите неравенство: $\left(\frac{3}{4}\right)^x - \left(\frac{3}{4}\right)^{x+1} > \frac{3}{16}$ Вынесем $\left(\frac{3}{4}\right)^x$ за скобки: $$ \left(\frac{3}{4}\right)^x \cdot \left(1 - \frac{3}{4}\right) > \frac{3}{16} $$ $$ \left(\frac{3}{4}\right)^x \cdot \frac{1}{4} > \frac{3}{16} $$ Умножим обе части неравенства на $4$: $$ \left(\frac{3}{4}\right)^x > \frac{3}{4} $$ $$ \left(\frac{3}{4}\right)^x > \left(\frac{3}{4}\right)^1 $$ Так как основание $0 < \frac{3}{4} < 1$, показательная функция убывает, и знак неравенства меняется на противоположный: $$ x < 1 $$ **Ответ:** $(-\infty; 1)$.