ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.13

1) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 3^x - 3^{x-1} + 3^{x-2}$ Вынесем в левой части уравнения за скобки степень $2^{x-2}$, а в правой части — степень $3^{x-2}$: $$ 2^{x-2} \left(2^2 + 2^1 + 1\right) = 3^{x-2} \left(3^2 - 3^1 + 1\right) $$ Вычислим значения выражений в скобках: $$ 2^{x-2} (4 + 2 + 1) = 3^{x-2} (9 - 3 + 1) $$ $$ 7 \cdot 2^{x-2} = 7 \cdot 3^{x-2} $$ Разделим обе части уравнения на $7$: $$ 2^{x-2} = 3^{x-2} $$ Разделим обе части на $3^{x-2} \neq 0$: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} = 1 $$ Так как $1 = \left(\frac{2}{3}\right)^0$, получаем: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^0 $$ $$ x - 2 = 0 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$. --- 2) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} = 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}$ Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями степеней в разных частях уравнения: $$ 3^{x^2+2} - 3^{x^2-1} = 5^{x^2+1} + 5^{x^2-1} $$ Вынесем за скобки степени с наименьшими показателями: $$ 3^{x^2-1} \left(3^3 - 1\right) = 5^{x^2-1} \left(5^2 + 1\right) $$ $$ 3^{x^2-1} (27 - 1) = 5^{x^2-1} (25 + 1) $$ $$ 26 \cdot 3^{x^2-1} = 26 \cdot 5^{x^2-1} $$ Разделим обе части уравнения на $26$: $$ 3^{x^2-1} = 5^{x^2-1} $$ Разделим обе части на $5^{x^2-1} \neq 0$: $$ \left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-1} = 1 $$ $$ \left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-1} = \left(\frac{3}{5}\right)^0 $$ Приравниваем показатели: $$ x^2 - 1 = 0 $$ $$ x^2 = 1 $$ $$ x_1 = 1, \quad x_2 = -1 $$ Ответ: $-1$; $1$. --- 3) $7^x - 5^{x+2} = 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}$ Перенесём слагаемые с основанием $7$ в левую часть, а с основанием $5$ — в правую часть: $$ 7^x - 2 \cdot 7^{x-1} = 5^{x+2} - 118 \cdot 5^{x-1} $$ Вынесем за скобки $7^{x-1}$ слева и $5^{x-1}$ справа: $$ 7^{x-1} (7^1 - 2) = 5^{x-1} \left(5^3 - 118\right) $$ $$ 7^{x-1} \cdot 5 = 5^{x-1} (125 - 118) $$ $$ 5 \cdot 7^{x-1} = 7 \cdot 5^{x-1} $$ Разделим обе части уравнения на $5 \cdot 5^{x-1} \neq 0$: $$ \frac{7^{x-1}}{5^{x-1}} = \frac{7}{5} $$ $$ \left(\frac{7}{5}\right)^{x-1} = \left(\frac{7}{5}\right)^1 $$ Так как основания равны, приравниваем показатели: $$ x - 1 = 1 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$.