ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.10

### 1) $$ 5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 31 $$ Вынесем степень с наименьшим показателем $5^{x-1}$ за скобки в левой части уравнения: $$ 5^{x-1} \cdot (5^2 + 5^1 + 1) = 31 $$ $$ 5^{x-1} \cdot (25 + 5 + 1) = 31 $$ $$ 5^{x-1} \cdot 31 = 31 $$ Разделим обе части уравнения на $31$: $$ 5^{x-1} = 1 $$ Представим $1$ как $5^0$: $$ 5^{x-1} = 5^0 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ Ответ: $1$. --- ### 2) $$ 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 17 $$ Вынесем степень с наименьшим показателем $3^{x-2}$ за скобки: $$ 3^{x-2} \cdot (3^3 - 2 \cdot 3^1 - 4) = 17 $$ $$ 3^{x-2} \cdot (27 - 6 - 4) = 17 $$ $$ 3^{x-2} \cdot 17 = 17 $$ Разделим обе части на $17$: $$ 3^{x-2} = 1 $$ $$ 3^{x-2} = 3^0 $$ Приравниваем показатели: $$ x - 2 = 0 \implies x = 2 $$ Ответ: $2$. --- ### 3) $$ 2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 9 $$ Вынесем степень с наименьшим показателем $2^{x-2}$ за скобки: $$ 2^{x-2} \cdot (2^4 - 2^3 + 2^1 - 1) = 9 $$ $$ 2^{x-2} \cdot (16 - 8 + 2 - 1) = 9 $$ $$ 2^{x-2} \cdot 9 = 9 $$ Разделим обе части на $9$: $$ 2^{x-2} = 1 $$ $$ 2^{x-2} = 2^0 $$ Приравниваем показатели: $$ x - 2 = 0 \implies x = 2 $$ Ответ: $2$. --- ### 4) $$ 2 \cdot 3^{2x+1} + 3^{2x-1} - 5 \cdot 3^{2x} = 36 $$ Вынесем степень с наименьшим показателем $3^{2x-1}$ за скобки: $$ 3^{2x-1} \cdot (2 \cdot 3^2 + 1 - 5 \cdot 3^1) = 36 $$ $$ 3^{2x-1} \cdot (18 + 1 - 15) = 36 $$ $$ 3^{2x-1} \cdot 4 = 36 $$ Разделим обе части уравнения на $4$: $$ 3^{2x-1} = 9 $$ $$ 3^{2x-1} = 3^2 $$ Приравниваем показатели: $$ 2x - 1 = 2 $$ $$ 2x = 3 $$ $$ x = 1{,}5 $$ Ответ: $1{,}5$. --- ### 5) $$ 6^{x-2} - \left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} + 36^{\frac{x-1}{2}} = 246 $$ Приведем все слагаемые в левой части к основанию $6$: - $\left(\frac{1}{6}\right)^{3-x} = (6^{-1})^{3-x} = 6^{-(3-x)} = 6^{x-3}$; - $36^{\frac{x-1}{2}} = (6^2)^{\frac{x-1}{2}} = 6^{2 \cdot \frac{x-1}{2}} = 6^{x-1}$. Подставим полученные выражения в уравнение: $$ 6^{x-2} - 6^{x-3} + 6^{x-1} = 246 $$ Вынесем $6^{x-3}$ за скобки: $$ 6^{x-3} \cdot (6^1 - 1 + 6^2) = 246 $$ $$ 6^{x-3} \cdot (6 - 1 + 36) = 246 $$ $$ 6^{x-3} \cdot 41 = 246 $$ Разделим обе части на $41$: $$ 6^{x-3} = 6 $$ $$ 6^{x-3} = 6^1 $$ Приравниваем показатели: $$ x - 3 = 1 \implies x = 4 $$ Ответ: $4$. --- ### 6) $$ 5 \cdot 2^{x-1} - 6 \cdot 2^{x-2} - 7 \cdot 2^{x-3} = 8^{x^2-1} $$ Преобразуем левую часть уравнения, вынеся за скобки общий множитель $2^{x-3}$: $$ 2^{x-3} \cdot (5 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2^1 - 7) = 2^{x-3} \cdot (20 - 12 - 7) = 2^{x-3} \cdot 1 = 2^{x-3} $$ Правую часть уравнения приведем к основанию $2$: $$ 8^{x^2-1} = (2^3)^{x^2-1} = 2^{3(x^2-1)} = 2^{3x^2-3} $$ Получаем уравнение: $$ 2^{x-3} = 2^{3x^2-3} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ x - 3 = 3x^2 - 3 $$ $$ 3x^2 - x = 0 $$ $$ x(3x - 1) = 0 $$ Отсюда: 1) $x = 0$; 2) $3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$. Ответ: $0$; $\frac{1}{3}$.