ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.12

1) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$ Преобразуем степень в первом слагаемом, используя свойство $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2$: $$ 3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0 $$ Пусть $3^x = t$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 3t^2 - 10t + 3 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $$ $$ t_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $$ $$ t_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к замене: 1) $3^x = 3^1 \implies x = 1$; 2) $3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1} \implies x = -1$. Ответ: $-1;\ 1$. --- 2) $2^{3 - 2x} - 3 \cdot 2^{1 - x} + 1 = 0$ Преобразуем степени: $2^{3 - 2x} = \frac{2^3}{2^{2x}} = \frac{8}{(2^x)^2}$ и $2^{1 - x} = \frac{2^1}{2^x} = \frac{2}{2^x}$. Уравнение принимает вид: $$ \frac{8}{(2^x)^2} - \frac{6}{2^x} + 1 = 0 $$ Пусть $2^x = t$, где $t > 0$: $$ \frac{8}{t^2} - \frac{6}{t} + 1 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $t^2 \neq 0$: $$ t^2 - 6t + 8 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \left[ \begin{aligned} & t_1 = 2 \\ & t_2 = 4 \end{aligned} \right. $$ Оба значения положительны. Вернемся к замене: 1) $2^x = 2^1 \implies x = 1$; 2) $2^x = 4 = 2^2 \implies x = 2$. Ответ: $1;\ 2$. --- 3) $5^x - 0,2^{x-1} = 4$ Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Тогда $0,2^{x-1} = (5^{-1})^{x-1} = 5^{-(x-1)} = 5^{1-x} = \frac{5}{5^x}$. Уравнение принимает вид: $$ 5^x - \frac{5}{5^x} = 4 $$ Пусть $5^x = t$, где $t > 0$: $$ t - \frac{5}{t} = 4 $$ Умножим обе части уравнения на $t > 0$: $$ t^2 - 4t - 5 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 5, \quad t_2 = -1 $$ Так как $t > 0$, корень $t = -1$ не подходит. Вернемся к замене для $t = 5$: $$ 5^x = 5^1 \implies x = 1 $$ Ответ: $1$. --- 4) $4^{x+0,5} + 7 \cdot 2^x = 4$ Преобразуем первое слагаемое: $$ 4^{x+0,5} = 4^x \cdot 4^{0,5} = (2^{2x}) \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot (2^x)^2 $$ Уравнение принимает вид: $$ 2 \cdot (2^x)^2 + 7 \cdot 2^x - 4 = 0 $$ Пусть $2^x = t$, где $t > 0$: $$ 2t^2 + 7t - 4 = 0 $$ $$ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2 $$ $$ t_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ t_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4 < 0 \quad \text{(не подходит)} $$ Вернемся к замене для $t = \frac{1}{2}$: $$ 2^x = 2^{-1} \implies x = -1 $$ Ответ: $-1$. --- 5) $3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^{x-1} = 0,2$ Преобразуем степени и число $0,2$: $5^{2x-1} = \frac{5^{2x}}{5}$, $5^{x-1} = \frac{5^x}{5}$, $0,2 = \frac{1}{5}$. $$ 3 \cdot \frac{5^{2x}}{5} - 2 \cdot \frac{5^x}{5} = \frac{1}{5} $$ Умножим обе части уравнения на $5$: $$ 3 \cdot (5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 1 = 0 $$ Пусть $5^x = t$, где $t > 0$: $$ 3t^2 - 2t - 1 = 0 $$ Так как сумма коэффициентов $a + b + c = 3 - 2 - 1 = 0$, получаем: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{1}{3} < 0 \quad \text{(не подходит)} $$ Вернемся к замене для $t = 1$: $$ 5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x = 0 $$ Ответ: $0$. --- 6) $\frac{5}{3^x - 6} + \frac{5}{3^x + 6} = 2$ Пусть $3^x = t$, где $t > 0$ и $t \neq 6$ (знаменатель $t + 6 > 0$ при любых $t > 0$). $$ \frac{5}{t - 6} + \frac{5}{t + 6} = 2 $$ Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{5(t + 6) + 5(t - 6)}{(t - 6)(t + 6)} = 2 $$ $$ \frac{5t + 30 + 5t - 30}{t^2 - 36} = 2 $$ $$ \frac{10t}{t^2 - 36} = 2 $$ Разделим обе части на $2$: $$ \frac{5t}{t^2 - 36} = 1 $$ $$ t^2 - 36 = 5t $$ $$ t^2 - 5t - 36 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 9, \quad t_2 = -4 $$ Учитывая условие $t > 0$, корень $t = -4$ не подходит. Значение $t = 9$ удовлетворяет условиям ($9 > 0$ и $9 \neq 6$). Вернемся к замене: $$ 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2 $$ Ответ: $2$.