ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.11

1) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$ Преобразуем первое слагаемое, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $$ 2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 = 0 $$ Пусть $2^x = t$, причем $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $$ $$ t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Выполним обратную замену: 1. $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$ 2. $2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$ Ответ: $-1; 1$. --- 2) $4^{x+1} + 4^{1-x} = 10$ Используем свойства степеней $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x$ и $4^{1-x} = \frac{4}{4^x}$: $$ 4 \cdot 4^x + \frac{4}{4^x} = 10 $$ Пусть $4^x = t$, где $t > 0$. Тогда: $$ 4t + \frac{4}{t} = 10 $$ Умножим обе части уравнения на $t \neq 0$: $$ 4t^2 - 10t + 4 = 0 $$ Разделим обе части на 2: $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = 2, \quad t_2 = \frac{1}{2} $$ Оба корня положительные. Выполним обратную замену: 1. $4^x = 2 \implies (2^2)^x = 2^1 \implies 2^{2x} = 2^1 \implies 2x = 1 \implies x = 0{,}5$ 2. $4^x = \frac{1}{2} \implies 2^{2x} = 2^{-1} \implies 2x = -1 \implies x = -0{,}5$ Ответ: $-0{,}5; 0{,}5$. --- 3) $5^{2x-3} - 2 \cdot 5^{x-2} = 3$ Перепишем уравнение, выделив степени $5^{2x}$ и $5^x$: $$ \frac{5^{2x}}{5^3} - 2 \cdot \frac{5^x}{5^2} = 3 $$ $$ \frac{5^{2x}}{125} - \frac{2 \cdot 5^x}{25} = 3 $$ Умножим обе части уравнения на $125$: $$ 5^{2x} - 10 \cdot 5^x = 375 $$ $$ (5^x)^2 - 10 \cdot 5^x - 375 = 0 $$ Пусть $5^x = t$, где $t > 0$: $$ t^2 - 10t - 375 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-375) = 100 + 1500 = 1600 = 40^2 $$ $$ t_1 = \frac{10 + 40}{2} = 25 $$ $$ t_2 = \frac{10 - 40}{2} = -15 $$ Значение $t_2 = -15$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Выполним обратную замену для $t_1 = 25$: $$ 5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies x = 2 $$ Ответ: $2$. --- 4) $9^x - 6 \cdot 3^{x-1} = 3$ Представим $9^x$ как $(3^x)^2$ и преобразуем второе слагаемое: $$ 6 \cdot 3^{x-1} = 6 \cdot \frac{3^x}{3} = 2 \cdot 3^x $$ Уравнение принимает вид: $$ (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x - 3 = 0 $$ Пусть $3^x = t$, где $t > 0$: $$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 3, \quad t_2 = -1 $$ Так как $t > 0$, значение $t_2 = -1$ является посторонним. Выполним обратную замену: $$ 3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1 $$ Ответ: $1$. --- 5) $3^{x+1} + 3^{2-x} = 28$ Преобразуем слагаемые: $$ 3 \cdot 3^x + \frac{3^2}{3^x} = 28 $$ $$ 3 \cdot 3^x + \frac{9}{3^x} = 28 $$ Сделаем замену переменной: пусть $3^x = t$, где $t > 0$. $$ 3t + \frac{9}{t} = 28 $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ 3t^2 - 28t + 9 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2 $$ $$ t_1 = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9 $$ $$ t_2 = \frac{28 - 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Оба значения больше нуля. Выполним обратную замену: 1. $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$ 2. $3^x = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$ Ответ: $-1; 2$. --- 6) $\frac{9}{2^x - 1} - \frac{21}{2^x + 1} = 2$ Область допустимых значений: $2^x - 1 \neq 0 \implies 2^x \neq 1 \implies x \neq 0$. Знаменатель $2^x + 1 > 0$ при любых $x$. Сделаем замену переменной $2^x = t$, где $t > 0$ и $t \neq 1$: $$ \frac{9}{t - 1} - \frac{21}{t + 1} = 2 $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(t - 1)(t + 1) = t^2 - 1$: $$ \frac{9(t + 1) - 21(t - 1)}{t^2 - 1} = 2 $$ $$ 9t + 9 - 21t + 21 = 2(t^2 - 1) $$ $$ -12t + 30 = 2t^2 - 2 $$ $$ 2t^2 + 12t - 32 = 0 $$ Разделим обе части на 2: $$ t^2 + 6t - 16 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 2, \quad t_2 = -8 $$ Условию $t > 0$ и $t \neq 1$ удовлетворяет только корень $t = 2$. Выполним обратную замену: $$ 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1 $$ Найденное значение входит в область допустимых значений ($1 \neq 0$). Ответ: $1$.