ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 6

Преобразуем исходное уравнение с помощью формулы косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$2(1 - 2\sin^2 x) + 2a\sin x + a - 1 = 0$$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$2 - 4\sin^2 x + 2a\sin x + a - 1 = 0$$ $$-4\sin^2 x + 2a\sin x + a + 1 = 0$$ $$4\sin^2 x - 2a\sin x - a - 1 = 0$$ Пусть $t = \sin x$. Так как функция $y = \sin x$ строго возрастает на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$, то каждому значению $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$ взаимно однозначно соответствует значение $t \in (-1; 0)$. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$ тогда и только тогда, когда квадратное уравнение $$4t^2 - 2at - a - 1 = 0$$ имеет ровно один корень на интервале $(-1; 0)$. Найдём корни квадратного уравнения относительно $t$. Вычислим дискриминант: $$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-a - 1) = 4a^2 + 16a + 16 = 4(a^2 + 4a + 4) = 4(a + 2)^2$$ Так как $D \geqslant 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни: $$t = \frac{2a \pm \sqrt{4(a+2)^2}}{2 \cdot 4} = \frac{2a \pm 2(a + 2)}{8} = \frac{a \pm (a + 2)}{4}$$ Получаем два корня: $$t_1 = \frac{a + (a + 2)}{4} = \frac{2a + 2}{4} = \frac{a + 1}{2}$$ $$t_2 = \frac{a - (a + 2)}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Заметим, что корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ не зависит от параметра $a$ и заведомо принадлежит интервалу $(-1; 0)$. Для того чтобы уравнение имело ровно один корень на интервале $(-1; 0)$, возможны два случая: 1. Корни $t_1$ и $t_2$ совпадают: $$t_1 = t_2 \iff \frac{a + 1}{2} = -\frac{1}{2} \iff a + 1 = -1 \iff a = -2$$ При $a = -2$ уравнение имеет единственный корень $t = -\frac{1}{2} \in (-1; 0)$. 2. Второй корень $t_1$ не лежит в интервале $(-1; 0)$, то есть $t_1 \leqslant -1$ или $t_1 \geqslant 0$: - $\frac{a + 1}{2} \leqslant -1 \iff a + 1 \leqslant -2 \iff a \leqslant -3$ - $\frac{a + 1}{2} \geqslant 0 \iff a + 1 \geqslant 0 \iff a \geqslant -1$ При этих значениях корень $t_1$ не даёт решений для $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$, а корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ остаётся единственным подходящим. Объединяя найденные значения, получаем: $a \leqslant -3$, $a = -2$, $a \geqslant -1$. Ответ: $a \leqslant -3$, $a = -2$, $a \geqslant -1$.