ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 4

**4.** Решим уравнение: $$ \frac{\sin 3x}{|\sin x|} + \frac{3\sin x}{\sin 3x} = -2 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $$ \begin{cases} |\sin x| \neq 0 \\ \sin 3x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \sin 3x \neq 0 \end{cases} $$ Используем формулу тройного аргумента для синуса: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x = \sin x (3 - 4\sin^2 x)$. Тогда при $\sin x \neq 0$: $$ \frac{\sin 3x}{\sin x} = 3 - 4\sin^2 x $$ **2. Раскрытие модуля:** Рассмотрим два возможных случая в зависимости от знака $\sin x$. * **Случай 1:** $\sin x > 0$. Тогда $|\sin x| = \sin x$, и уравнение принимает вид: $$ \frac{\sin 3x}{\sin x} + \frac{3\sin x}{\sin 3x} = -2 $$ Пусть $t = \frac{\sin 3x}{\sin x}$, тогда $\frac{\sin x}{\sin 3x} = \frac{1}{t}$ (где $t \neq 0$ по ОДЗ): $$ t + \frac{3}{t} = -2 $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ t^2 + 2t + 3 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0 $$ Так как дискриминант отрицателен, действительных корней в этом случае нет. * **Случай 2:** $\sin x < 0$. Тогда $|\sin x| = -\sin x$, и уравнение принимает вид: $$ -\frac{\sin 3x}{\sin x} + \frac{3\sin x}{\sin 3x} = -2 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ \frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{3\sin x}{\sin 3x} = 2 $$ Пусть $t = \frac{\sin 3x}{\sin x}$: $$ t - \frac{3}{t} = 2 $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$ По теореме Виета корни уравнения: $$ t_1 = 3, \quad t_2 = -1 $$ Вернемся к замене $t = \frac{\sin 3x}{\sin x} = 3 - 4\sin^2 x$: 1) Если $t = 3$: $$ 3 - 4\sin^2 x = 3 \iff -4\sin^2 x = 0 \iff \sin x = 0 $$ Это противоречит условию случая $\sin x < 0$ и ОДЗ. Значит, корней нет. 2) Если $t = -1$: $$ 3 - 4\sin^2 x = -1 \iff 4\sin^2 x = 4 \iff \sin^2 x = 1 $$ Так как рассматривается случай $\sin x < 0$, получаем: $$ \sin x = -1 $$ Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **3. Проверка ОДЗ:** При $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$: * $\sin x = -1 \neq 0$; * $\sin 3x = \sin\left(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi n\right) = \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 1 \neq 0$. Условия ОДЗ выполняются. **Ответ:** $$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$