ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 3

В оригинальном задании (дидактические материалы Шабунина, 10 класс, глава 6, «Задания для интересующихся математикой», № 3) решается уравнение: $$ \frac{3 + \cos 4x - 8 \sin^4 x}{4 (\sin x + \cos x)} = \frac{1}{\cos x} $$ (хвостовая часть записи «$\cdot \frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbf{Z}$» в условии возникла в результате типографской склейки с ответом предыдущего пункта). ### 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Знаменатели дробей не могут быть равны нулю: $$ \begin{cases} \sin x + \cos x \neq 0, \\ \cos x \neq 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое условие: $\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \neq 0 \iff x + \frac{\pi}{4} \neq \pi m \iff x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi m, \; m \in \mathbb{Z}$. Из второго условия: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi l, \; l \in \mathbb{Z}$. ### 2. Упрощение числителя левой части Преобразуем выражение в числителе: $3 + \cos 4x - 8 \sin^4 x$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 1 - 2 \sin^2 2x$: $$ \cos 4x = 1 - 2(2 \sin x \cos x)^2 = 1 - 8 \sin^2 x \cos^2 x $$ Подставим это выражение в числитель: $$ 3 + \cos 4x - 8 \sin^4 x = 3 + (1 - 8 \sin^2 x \cos^2 x) - 8 \sin^4 x $$ $$ = 4 - 8 \sin^2 x (\cos^2 x + \sin^2 x) $$ Так как $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем: $$ 4 - 8 \sin^2 x = 4(1 - 2 \sin^2 x) = 4 \cos 2x $$ ### 3. Упрощение левой части уравнения Подставим полученный результат в левую часть: $$ \frac{4 \cos 2x}{4 (\sin x + \cos x)} = \frac{\cos 2x}{\sin x + \cos x} $$ Применим формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$: $$ \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} = \cos x - \sin x $$ (сокращение возможно, так как $\sin x + \cos x \neq 0$ по ОДЗ). ### 4. Решение уравнения Уравнение принимает вид: $$ \cos x - \sin x = \frac{1}{\cos x} $$ Умножим обе части уравнения на $\cos x \neq 0$: $$ \cos x (\cos x - \sin x) = 1 $$ $$ \cos^2 x - \sin x \cos x = 1 $$ Заменим единицу по основному тригонометрическому тождеству $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$: $$ \cos^2 x - \sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $$ $$ -\sin x \cos x - \sin^2 x = 0 $$ Вынесем $-\sin x$ за скобки: $$ -\sin x (\cos x + \sin x) = 0 $$ Так как по ОДЗ $\cos x + \sin x \neq 0$, разделим обе части на $-(\cos x + \sin x)$: $$ \sin x = 0 $$ Отсюда: $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ ### 5. Проверка ОДЗ Для найденных значений $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$: 1. $\cos(\pi k) = (-1)^k \neq 0$ — выполнено; 2. $\sin(\pi k) + \cos(\pi k) = 0 + (-1)^k = (-1)^k \neq 0$ — выполнено. Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.