ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 19

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2}, \\ \sin y \cos x = \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$ \sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $$ $$ \sin(x + y) = 1 $$ Отсюда: $$ x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ \sin x \cos y - \cos x \sin y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} $$ $$ \sin(x - y) = 0 $$ Отсюда: $$ x - y = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Получаем равносильную систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \\ x - y = \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ Сложим эти уравнения: $$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n + \pi k \implies x = \pi n + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n - \pi k \implies y = \pi n + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi k}{2} $$ Ответ: $$ \left( \pi n + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}; \pi n + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi k}{2} \right), \quad n \in \mathbb{Z}, \ k \in \mathbb{Z} $$