ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 9

Дано тригонометрическое уравнение: $$ \cos^2 x - 5 \sin x \cos x + 2 = 0 $$ Заменим число $2$ с помощью основного тригонометрического тождества $2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$: $$ \cos^2 x - 5 \sin x \cos x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 2\sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0 $$ Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $2\sin^2 x = 0$, то есть $\sin x = 0$, что противоречит тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$ 2\tan^2 x - 5\tan x + 3 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - 5t + 3 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{5 + 1}{4} = 1{,}5 $$ Вернемся к переменной $x$: 1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; 2) $\tan x = 1{,}5 \implies x = \arctan 1{,}5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. Найдем наименьшие положительные корни в каждой из серий: - при $k = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{4}$; - при $n = 0$ получаем $x_2 = \arctan 1{,}5$. Поскольку функция $y = \arctan t$ является строго возрастающей и $1 < 1{,}5$, справедливо неравенство: $$ \arctan 1 < \arctan 1{,}5 \implies \frac{\pi}{4} < \arctan 1{,}5 $$ Таким образом, наименьшим положительным корнем уравнения является $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Найдем значение $\tan x_0$: $$ \tan x_0 = \tan\frac{\pi}{4} = 1 $$ Ответ: 1