ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 10

Рассмотрим выражение: $$f(x) = \frac{\sqrt{3 - 2x - x^2}}{x \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} x^2\right)}$$ Для того чтобы выражение имело смысл и не обращалось в нуль, необходимо и достаточно выполнения следующих условий: 1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть строго больше нуля (так как корень стоит в числителе и выражение не должно обращаться в нуль): $$3 - 2x - x^2 > 0$$ 2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$x \neq 0 \quad \text{и} \quad \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} x^2\right) \neq 0$$ 3. Котангенс должен быть определён: $$\sin\left(\frac{\pi}{3} x^2\right) \neq 0$$ Объединим эти требования в систему: $$\begin{cases} 3 - 2x - x^2 > 0 \\ x \neq 0 \\ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} x^2\right) \neq 0 \\ \frac{\pi}{3} x^2 \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases}$$ Решим каждое условие системы. **1. Неравенство $3 - 2x - x^2 > 0$:** Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$x^2 + 2x - 3 < 0$$ Найдём корни квадратного трёхчлена с помощью теоремы Виета: $$x_1 = -3, \quad x_2 = 1$$ Разложим на множители: $$(x + 3)(x - 1) < 0$$ Отсюда получаем интервал: $$x \in (-3; 1)$$ **2. Условия существования и ненулевого значения знаменателя:** Котангенс $\operatorname{ctg} \alpha$ определён при $\alpha \neq \pi n$ ($n \in \mathbb{Z}$) и не равен нулю при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Объединяя эти два условия, получаем, что $\alpha$ не может быть кратен $\frac{\pi}{2}$: $$\alpha \neq \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}$$ В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{3} x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, рассматриваем $m \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$: $$\frac{\pi}{3} x^2 \neq \frac{\pi m}{2}$$ Разделим обе части на $\pi$ и умножим на $3$: $$x^2 \neq \frac{3m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$$ При $m = 0$ получаем $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$, что также удовлетворяет условию $x \neq 0$ в знаменателе. Найдём значения $x$, попадающие в интервал $(-3; 1)$, при натуральных $m$: - при $m = 1$: $$x^2 = \frac{3}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$$ Так как $\sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1{,}22 > 1$, положительный корень не принадлежит $(-3; 1)$, а отрицательный принадлежит: $$x = -\sqrt{\frac{3}{2}} \in (-3; 1)$$ - при $m = 2$: $$x^2 = \frac{6}{2} = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$$ $\sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1$, значит, в интервал входит только: $$x = -\sqrt{3} \in (-3; 1)$$ - при $m = 3$: $$x^2 = \frac{9}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{9}{2}}$$ $\sqrt{\frac{9}{2}} \approx 2{,}12 > 1$, значит, в интервал входит только: $$x = -\sqrt{\frac{9}{2}} \in (-3; 1)$$ - при $m = 4$: $$x^2 = \frac{12}{2} = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$$ $\sqrt{6} \approx 2{,}45 > 1$, значит, в интервал входит только: $$x = -\sqrt{6} \in (-3; 1)$$ - при $m = 5$: $$x^2 = \frac{15}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{15}{2}}$$ $\sqrt{\frac{15}{2}} \approx 2{,}74 > 1$ и $2{,}74 < 3$, значит, в интервал входит только: $$x = -\sqrt{\frac{15}{2}} \in (-3; 1)$$ - при $m \ge 6$: $$x^2 \ge \frac{18}{2} = 9 \implies |x| \ge 3$$ Эти значения лежат вне интервала $(-3; 1)$. Таким образом, из интервала $(-3; 1)$ необходимо исключить точку $0$ и найденные отрицательные значения. Ответ: при всех $x \in (-3; 1)$, за исключением точек $0$; $-\sqrt{\frac{3}{2}}$; $-\sqrt{3}$; $-\sqrt{\frac{9}{2}}$; $-\sqrt{6}$; $-\sqrt{\frac{15}{2}}$.