ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 11

Пусть $x = 3\alpha$. Тогда условие задачи принимает вид: $$ \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Требуется найти все возможные значения $\sin x$. Решим простейшее тригонометрическое уравнение относительно $2x$: 1. Первая серия решений: $$ 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на $2$: $$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим значения $\sin x$ в зависимости от чётности целого числа $k$: * Если $k = 2m$ (чётное), то: $$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m \implies \sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $$ * Если $k = 2m + 1$ (нечётное), то: $$ x = -\frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi m = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \implies \sin x = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $$ 2. Вторая серия решений: $$ 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на $2$: $$ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим значения $\sin x$ в зависимости от чётности целого числа $n$: * Если $n = 2m$ (чётное), то: $$ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m \implies \sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ * Если $n = 2m + 1$ (нечётное), то: $$ x = -\frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi m = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \implies \sin x = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Таким образом, выражение $\sin 3\alpha$ может принимать значения $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; -\frac{1}{2}$.