ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 7

Найдем значение выражения: $$ 5 \sin\left(\frac{\pi}{2} + \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) $$ 1. Применим формулу приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha$, где $\alpha = \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)$: $$ 5 \sin\left(\frac{\pi}{2} + \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) = 5 \cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) $$ 2. Пусть $\alpha = \arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)$. По определению арксинуса: $$ \sin \alpha = -\frac{3}{5}, \quad \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $$ Так как угол $\alpha$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ (I и IV четверти), косинус этого угла неотрицателен, то есть $\cos \alpha \ge 0$. 3. По основному тригонометрическому тождеству найдем $\cos \alpha$: $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$ 4. Подставим найденное значение в исходное выражение: $$ 5 \cos \alpha = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4 $$ Ответ: 4