ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 5

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат: $$ x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1 $$ Оценим значения левой и правой частей уравнения при всех действительных $x$: 1. Так как $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то: $$ x^2 - 2x + 2 \ge 1 $$ Причем равенство достигается только при $x = 1$. 2. Для правой части воспользуемся свойством косинуса $\cos 2\pi x \le 1$: $$ 2\cos 2\pi x - 1 \le 2 \cdot 1 - 1 = 1 $$ Левая часть уравнения всегда больше либо равна $1$, а правая — меньше либо равна $1$. Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны $1$: $$ \begin{cases} x^2 - 2x + 2 = 1, \\ 2\cos 2\pi x - 1 = 1 \end{cases} $$ Решим первое уравнение системы: $$ (x - 1)^2 + 1 = 1 $$ $$ (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1 $$ Проверим, удовлетворяет ли полученное значение $x = 1$ второму уравнению системы: $$ 2\cos(2\pi \cdot 1) - 1 = 2\cos 2\pi - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 $$ Равенство верно, значит, $x = 1$ — единственный корень исходного уравнения. Ответ: $1$.