ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 4

Преобразуем и оценим левую часть уравнения: $$ x^2 + 2x + 4 = (x^2 + 2x + 1) + 3 = (x + 1)^2 + 3 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x + 1)^2 \geqslant 0$, получаем: $$ x^2 + 2x + 4 \geqslant 3 $$ Равенство $x^2 + 2x + 4 = 3$ достигается только при $x + 1 = 0$, то есть при $x = -1$. Оценим правую часть уравнения. Поскольку область значений функции синуса есть отрезок $[-1; 1]$, то $\sin\frac{3\pi x}{2} \leqslant 1$, откуда: $$ 3 \sin\frac{3\pi x}{2} \leqslant 3 $$ Левая часть уравнения всегда больше или равна $3$, а правая часть — меньше или равна $3$. Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны $3$: $$ \begin{cases} x^2 + 2x + 4 = 3 \\ 3 \sin\frac{3\pi x}{2} = 3 \end{cases} $$ Решим первое уравнение системы: $$ (x + 1)^2 + 3 = 3 $$ $$ (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1 $$ Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x = -1$ второму уравнению системы: $$ 3 \sin\left(\frac{3\pi \cdot (-1)}{2}\right) = 3 \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 3 \cdot 1 = 3 $$ Равенство верно, значит, $x = -1$ является единственным корнем уравнения. Ответ: $x = -1$.