ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 7

7. Решим тригонометрическое уравнение: $$ 2\sin^2x + \cos^2x - 3\sin x - 5 = 0 $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, сведем уравнение к одной тригонометрической функции: $$ 2\sin^2 x + (1 - \sin^2 x) - 3\sin x - 5 = 0 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \sin^2 x - 3\sin x - 4 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$. Тогда получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 3t - 4 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1 $$ Вернемся к замене: 1. $\sin x = 4$ — уравнение не имеет действительных решений, так как $|\sin x| \le 1$, а $4 > 1$. 2. $\sin x = -1$ — частный случай простейшего тригонометрического уравнения: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.