ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 1 - 5

5. Вычислим значение выражения $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\,\sqrt{3})$. **1-й способ (по определению арктангенса):** По определению арктангенса, для любого действительного числа $x$ справедливо тождество: $$ \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\,x) = x $$ Так как $x = \sqrt{3} \in \mathbb{R}$, получаем: $$ \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\,\sqrt{3}) = \sqrt{3} $$ **2-й способ (с вычислением значения аргумента):** 1. Найдем значение $\mathrm{arctg}\,\sqrt{3}$. По определению арктангенса, $\mathrm{arctg}\,\sqrt{3} = \alpha$, где $\mathrm{tg}\,\alpha = \sqrt{3}$ и $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$, значит: $$ \mathrm{arctg}\,\sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $$ 2. Подставим найденное значение в исходное выражение: $$ \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\,\sqrt{3}) = \mathrm{tg}\,\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $$ Ответ: $\sqrt{3}$