ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 2 - 29

**29.** Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos 2x (1 - \cos 2x) = 3 \sin^2 x $$ Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Подставим ее в уравнение: $$ \cos 2x (1 - \cos 2x) = 3 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ 2\cos 2x (1 - \cos 2x) = 3 (1 - \cos 2x) $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 2\cos 2x (1 - \cos 2x) - 3 (1 - \cos 2x) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(1 - \cos 2x)$ за скобки: $$ (1 - \cos 2x)(2\cos 2x - 3) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $1 - \cos 2x = 0$ $\cos 2x = 1$ $2x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ $x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $2\cos 2x - 3 = 0$ $2\cos 2x = 3$ $\cos 2x = 1{,}5$ Так как для любого аргумента $-1 \le \cos 2x \le 1$, а $1{,}5 > 1$, данное уравнение корней не имеет. **Ответ:** $x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.