ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 2 - 23

Найдем значение выражения $\cos^6\alpha + \sin^6\alpha$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$. 1. Найдем произведение $\sin\alpha\cos\alpha$. Для этого возведем обе части равенства $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$ в квадрат: $$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$ Применим формулу квадрата суммы: $$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4} $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $$ 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} $$ $$ 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} - 1 $$ $$ 2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{4} $$ $$ \sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8} $$ 2. Преобразуем исходное выражение $\cos^6\alpha + \sin^6\alpha$. Представим его как сумму кубов $(\cos^2\alpha)^3 + (\sin^2\alpha)^3$: $$ a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) $$ Положим $a = \cos^2\alpha$ и $b = \sin^2\alpha$: $$ \cos^6\alpha + \sin^6\alpha = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^3 - 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $$ Так как $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, формула упрощается: $$ \cos^6\alpha + \sin^6\alpha = 1^3 - 3(\sin\alpha\cos\alpha)^2 \cdot 1 = 1 - 3(\sin\alpha\cos\alpha)^2 $$ 3. Подставим найденное значение $\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}$: $$ \cos^6\alpha + \sin^6\alpha = 1 - 3 \cdot \left(-\frac{3}{8}\right)^2 = 1 - 3 \cdot \frac{9}{64} = 1 - \frac{27}{64} = \frac{64 - 27}{64} = \frac{37}{64} $$ Ответ: $\frac{37}{64}$