ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 1 - 23

23. Решим тригонометрическое уравнение: $$\sin 5x \cos 3x \sin x = \cos 5x \sin 3x \sin x$$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $$\sin 5x \cos 3x \sin x - \cos 5x \sin 3x \sin x = 0$$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $$\sin x (\sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x) = 0$$ Применим формулу синуса разности углов $\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha - \beta)$ для выражения в скобках: $$\sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x = \sin(5x - 3x) = \sin 2x$$ Получаем уравнение: $$\sin x \sin 2x = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0$ $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2) $\sin 2x = 0$ $$2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Заметим, что серия решений $x = \pi k$ полностью содержится в серии $x = \frac{\pi n}{2}$ при четных значениях $n$ ($n = 2k$). Объединяя решения, получаем: $$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.