ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 1 - 22

22. [6] Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) + \frac{3}{2} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Используем формулу косинуса суммы двух углов $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos x - \sin \frac{\pi}{3} \sin x $$ Так как $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ \sqrt{3} \left(\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right) + \frac{3}{2} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Раскроем скобки в левой части: $$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{3}{2} \sin x + \frac{3}{2} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Разделим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ \cos x = 1 $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $$ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.