ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 27 / вариант 2 - 13

13. Решим тригонометрическое уравнение: $$ 6\cos(-2x) - 3\sin^2(-2x) = 3\cos^2(-2x) - 2 $$ Используем свойства чётности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечётности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, откуда $\sin^2(-\alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$): $$ 6\cos 2x - 3\sin^2 2x = 3\cos^2 2x - 2 $$ Перенесём слагаемое $-3\sin^2 2x$ в правую часть уравнения: $$ 6\cos 2x = 3\sin^2 2x + 3\cos^2 2x - 2 $$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки в правой части: $$ 6\cos 2x = 3(\sin^2 2x + \cos^2 2x) - 2 $$ Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$: $$ 6\cos 2x = 3 \cdot 1 - 2 $$ $$ 6\cos 2x = 1 $$ Разделим обе части уравнения на $6$: $$ \cos 2x = \frac{1}{6} $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $$ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части равенства на $2$: $$ x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.