ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 27 / вариант 2 - 12

12. 6) Упростим выражение: $$ \frac{\operatorname{ctg}^2(-\alpha) - \cos(-\alpha)}{\operatorname{ctg}(-\alpha)} - \operatorname{ctg}(-\alpha) $$ Приведем выражение к общему знаменателю $\operatorname{ctg}(-\alpha)$: $$ \frac{\operatorname{ctg}^2(-\alpha) - \cos(-\alpha)}{\operatorname{ctg}(-\alpha)} - \operatorname{ctg}(-\alpha) = \frac{\operatorname{ctg}^2(-\alpha) - \cos(-\alpha) - \operatorname{ctg}^2(-\alpha)}{\operatorname{ctg}(-\alpha)} = \frac{-\cos(-\alpha)}{\operatorname{ctg}(-\alpha)} $$ Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: косинус — четная функция, то есть $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$; котангенс — нечетная функция, то есть $\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha$. Подставим эти соотношения: $$ \frac{-\cos(-\alpha)}{\operatorname{ctg}(-\alpha)} = \frac{-\cos\alpha}{-\operatorname{ctg}\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha} $$ По определению котангенса $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, тогда: $$ \frac{\cos\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha} = \cos\alpha : \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha $$ Ответ: $\sin\alpha$