ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 27 / вариант 2 - 11

11. Упростим выражение: $$ \operatorname{ctg}(-\alpha) + 1 - \frac{\cos(-\alpha) - \sin(-\alpha)}{\sin(-\alpha)} $$ Используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций: * косинус — чётная функция: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$; * синус и котангенс — нечётные функции: $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, $\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha$. Подставим эти соотношения в исходное выражение: $$ -\operatorname{ctg}\alpha + 1 - \frac{\cos\alpha - (-\sin\alpha)}{-\sin\alpha} = -\operatorname{ctg}\alpha + 1 - \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{-\sin\alpha} $$ Вынесем знак «минус» из знаменателя дроби, изменив знак перед ней на противоположный: $$ -\operatorname{ctg}\alpha + 1 + \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\sin\alpha} $$ Почленно разделим числитель дроби на знаменатель: $$ \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha + 1 $$ Подставим полученный результат обратно в выражение и приведём подобные слагаемые: $$ -\operatorname{ctg}\alpha + 1 + \operatorname{ctg}\alpha + 1 = (-\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha) + (1 + 1) = 2 $$ Ответ: $2$