ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 2 - 9

Преобразуем числитель и знаменатель дроби с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: 1. Для числителя выделим полный квадрат: $$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ 2. Для знаменателя применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \sin^2 \alpha$, $b = \cos^2 \alpha$: $$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$, получаем: $$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 \cdot (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $$ 3. Выразим $\cos^2 \alpha$ и $\sin^2 \alpha$ через $\operatorname{tg} \alpha = 2$: $$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5} $$ $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $$ Тогда произведение: $$ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{25} $$ 4. Подставим полученное значение в числитель и знаменатель: $$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 \cdot \frac{4}{25} = 1 - \frac{8}{25} = \frac{17}{25} $$ $$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3 \cdot \frac{4}{25} = 1 - \frac{12}{25} = \frac{13}{25} $$ 5. Вычислим значение исходного выражения: $$ \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha} = \frac{\frac{17}{25}}{\frac{13}{25}} = \frac{17}{13} = 1\frac{4}{13} $$ Ответ: $\frac{17}{13}$ (или $1\frac{4}{13}$).