ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 2 - 10

10. Упростим выражение: $$2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha$$ **Способ 1 (через выделение полного квадрата)** Дополним выражение до полного квадрата суммы $\sin^2 \alpha$ и $\cos^2 \alpha$, прибавив и вычтя $\cos^4 \alpha$: $$2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha = (\sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) - \cos^4 \alpha$$ Свернем трехчлен в скобках по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - \cos^4 \alpha$$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$1^2 - \cos^4 \alpha = 1 - \cos^4 \alpha$$ --- **Способ 2 (через вынесение общего множителя)** 1. Вынесем за скобки общий множитель $\sin^2 \alpha$: $$2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha = \sin^2 \alpha (2 \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$$ 2. Представим $2 \cos^2 \alpha$ в виде суммы $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha$: $$\sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$$ 3. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$\sin^2 \alpha (1 + \cos^2 \alpha)$$ 4. Выразим $\sin^2 \alpha$ через косинус ($\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$) и применим формулу разности квадратов: $$(1 - \cos^2 \alpha)(1 + \cos^2 \alpha) = 1 - \cos^4 \alpha$$ Ответ: $1 - \cos^4 \alpha$ (или $\sin^2 \alpha (1 + \cos^2 \alpha)$).