ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 1 - 6

Выясним, могут ли одновременно выполняться равенства $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ и $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$. Используем связь между тангенсом, синусом и косинусом: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Отсюда выразим $\cos \alpha$: $$ \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} $$ Подставим заданные значения: $$ \cos \alpha = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ Проверим выполнение основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{8}{9} = \frac{9}{9} = 1 $$ Основное тригонометрическое тождество выполняется. Так как $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$, угол $\alpha$ принадлежит I координатной четверти, где тангенс также положителен. Следовательно, данные равенства могут выполняться одновременно. Ответ: да, могут.