ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 1 - 3

1. Определим четверть, в которой находится угол $\alpha$: Так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$ и $\frac{13\pi}{2} = 6\pi + \frac{\pi}{2}$, интервал $6\pi < \alpha < \frac{13\pi}{2}$ соответствует I четверти числовой окружности. Следовательно, $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$. 2. Воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и косинус: $$ 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ Выразим и вычислим $\cos^2 \alpha$: $$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} $$ $$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \left(\sqrt{\frac{2}{7}}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{1}{\frac{9}{7}} = \frac{7}{9} $$ Так как $\alpha$ лежит в I четверти, выбираем положительное значение: $$ \cos \alpha = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3} $$ 3. Найдем $\sin \alpha$, используя формулу $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $$ \sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha $$ $$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{2}{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3} $$ Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$.