ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 1 - 9

Для вычисления значения выражения $\mathrm{tg}^3 \alpha + \mathrm{ctg}^3 \alpha$ воспользуемся формулой куба суммы: $$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) $$ Отсюда выразим сумму кубов: $$ a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) $$ Пусть $a = \mathrm{tg} \alpha$, а $b = \mathrm{ctg} \alpha$. По условию: $$ \mathrm{tg} \alpha + \mathrm{ctg} \alpha = 2 $$ Используя основное тригонометрическое тождество для тангенса и котангенса, имеем: $$ \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg} \alpha = 1 $$ Подставим известные значения в формулу: $$ \mathrm{tg}^3 \alpha + \mathrm{ctg}^3 \alpha = (\mathrm{tg} \alpha + \mathrm{ctg} \alpha)^3 - 3 \cdot (\mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg} \alpha) \cdot (\mathrm{tg} \alpha + \mathrm{ctg} \alpha) $$ $$ \mathrm{tg}^3 \alpha + \mathrm{ctg}^3 \alpha = 2^3 - 3 \cdot 1 \cdot 2 = 8 - 6 = 2 $$ Ответ: 2