ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 1 - 4

1. Определим, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$. По условию: $$5\pi < \alpha < \frac{11\pi}{2}$$ Выделим целое число полных оборотов ($2\pi \cdot 2 = 4\pi$): $$\pi + 4\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 4\pi$$ Следовательно, угол $\alpha$ лежит в III четверти. В третьей четверти знаки тригонометрических функций: $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$. 2. Воспользуемся тождеством, связывающим котангенс и синус: $$1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$ Подставим значение $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{4}{3}$: $$1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$ $$1 + \frac{16}{9} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$ $$\frac{25}{9} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$$ Так как $\alpha$ лежит в III четверти ($\sin \alpha < 0$): $$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$ 3. Найдём $\cos \alpha$, используя формулу $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $$\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha$$ $$\cos \alpha = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5}$$ Ответ: $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.