ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 23 / вариант 2 - 12

По определению, косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса точки $M(x; y)$ единичной окружности, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$. По условию: $$ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Это означает, что абсцисса точки на единичной окружности равна $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 1. Прямая $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ пересекает единичную окружность $x^2 + y^2 = 1$ в двух точках: $$ y^2 = 1 - x^2 = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 2. Получаем две точки на единичной окружности: - Точка $M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, лежащая в I координатной четверти, соответствует углу поворота: $$ \alpha_1 = \frac{\pi}{4} \quad (45^\circ) $$ - Точка $M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, лежащая в IV координатной четверти, соответствует углу поворота: $$ \alpha_2 = -\frac{\pi}{4} \quad (-45^\circ) $$ 3. С учётом полного оборота точки вокруг начала координат (периода $2\pi$ или $360^\circ$), все значения угла $\alpha$ записываются общей формулой: $$ \alpha = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ (или в градусах: $\alpha = \pm 45^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}$). Ответ: $\alpha = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ (или $\pm 45^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}$).