ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 23 / вариант 2 - 10

По определению, ордината точки $P_\alpha$, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$, равна $\sin \alpha$. Требуется найти все значения угла $\alpha$ из промежутка $[-2\pi; 2\pi]$, удовлетворяющие уравнению: $$ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ На единичной окружности ординату $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеют точки, соответствующие двум сериям углов: $$ \alpha = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ \alpha = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Выберем те значения углов, которые принадлежат отрезку $[-2\pi; 2\pi]$. 1. Для первой серии $\alpha = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: - при $k = 0$: $\alpha = -\frac{\pi}{3} \in [-2\pi; 2\pi]$; - при $k = 1$: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \in [-2\pi; 2\pi]$; - при $k = -1$: $\alpha = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \notin [-2\pi; 2\pi]$ (так как $-\frac{7\pi}{3} < -2\pi$); - при $k \geqslant 2$: $\alpha > 2\pi$. 2. Для второй серии $\alpha = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: - при $k = 0$: $\alpha = -\frac{2\pi}{3} \in [-2\pi; 2\pi]$; - при $k = 1$: $\alpha = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \in [-2\pi; 2\pi]$; - при $k = -1$: $\alpha = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \notin [-2\pi; 2\pi]$ (так как $-\frac{8\pi}{3} < -2\pi$); - при $k \geqslant 2$: $\alpha > 2\pi$. Запишем все полученные углы в порядке возрастания: $$ -\frac{2\pi}{3}; \quad -\frac{\pi}{3}; \quad \frac{4\pi}{3}; \quad \frac{5\pi}{3} $$ Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.