ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 23 / вариант 2 - 13

13. Сравним числа $6^{\sqrt{2}} \sin(-0,7)$ и $\sin(-0,5)$. 1) Определим знаки значений тригонометрических функций. Используя свойство нечётности функции синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем: $$ \sin(-0,7) = -\sin 0,7 $$ $$ \sin(-0,5) = -\sin 0,5 $$ Так как $0 < 0,5 < 0,7 < \frac{\pi}{2}$ (где $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$), углы $0,5$ рад и $0,7$ рад принадлежат первой четверти. На промежутке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ функция $y = \sin x$ возрастает и принимает положительные значения, следовательно: $$ \sin 0,7 > \sin 0,5 > 0 $$ Умножив обе части неравенства на $-1$, меняем знак неравенства на противоположный: $$ -\sin 0,7 < -\sin 0,5 < 0 $$ То есть: $$ \sin(-0,7) < \sin(-0,5) < 0 $$ 2) Оценим множитель $6^{\sqrt{2}}$. Так как основание степени $6 > 1$ и показатель $\sqrt{2} > 1$, получаем: $$ 6^{\sqrt{2}} > 6^1 = 6 > 1 $$ 3) Сравним выражения. Поскольку число $\sin(-0,7)$ отрицательно ($\sin(-0,7) < 0$), а множитель $6^{\sqrt{2}} > 1$, при умножении отрицательного числа на число, большее единицы, значение уменьшается: $$ 6^{\sqrt{2}} \sin(-0,7) < \sin(-0,7) $$ Объединяя полученные неравенства, имеем: $$ 6^{\sqrt{2}} \sin(-0,7) < \sin(-0,7) < \sin(-0,5) $$ Следовательно: $$ 6^{\sqrt{2}} \sin(-0,7) < \sin(-0,5) $$ Ответ: $6^{\sqrt{2}} \sin(-0,7) < \sin(-0,5)$.