ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 23 / вариант 1 - 31

Единичная окружность задаётся уравнением $x^2 + y^2 = 1$ с центром в начале координат $O(0; 0)$ и радиусом $R = 1$. Центр квадрата, вписанного в окружность, совпадает с центром окружности — точкой $O(0; 0)$. Диагонали квадрата пересекаются в начале координат, равны по длине, взаимно перпендикулярны и делятся центром пополам. Следовательно, вершины квадрата делят единичную окружность на четыре равные дуги, каждая из которых равна $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Пусть данная вершина — точка $A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Так как $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$, для точки $A$ угол поворота равен: $$ \alpha_1 = \frac{\pi}{4} $$ Тогда остальные три вершины квадрата получаются последовательным прибавлением угла $\frac{\pi}{2}$: 1. Вторая вершина $B$ соответствует углу: $$ \alpha_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} $$ Её координаты: $$ x_2 = \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y_2 = \sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Получаем точку $B\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. 2. Третья вершина $C$ симметрична вершине $A$ относительно начала координат $O(0; 0)$ (угол $\alpha_3 = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{4}$): $$ x_3 = \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y_3 = \sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Получаем точку $C\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. 3. Четвёртая вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно начала координат $O(0; 0)$ (угол $\alpha_4 = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{4}$): $$ x_4 = \cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y_4 = \sin\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Получаем точку $D\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Ответ: $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.