ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 22 / вариант 1 - 2

2) Рассматривается угол поворота: $$ \alpha = \frac{\pi}{8} + \pi k, \quad k \in \mathbf{Z} $$ Для того чтобы изобразить точки на единичной окружности, соответствующие заданным углам, проанализируем значения угла в зависимости от четности целого числа $k$: 1. При четных $k$, то есть $k = 2m$, где $m \in \mathbf{Z}$: $$ \alpha = \frac{\pi}{8} + 2\pi m $$ Слагаемое $2\pi m$ соответствует целому числу полных оборотов. Следовательно, все эти углы задают на единичной окружности одну и ту же точку $M_1$, полученную поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $\frac{\pi}{8}$: * в градусной мере угол равен: $$ \frac{180^\circ}{8} = 22{,}5^\circ = 22^\circ 30' $$ * точка $M_1$ лежит в I координатной четверти (на середине дуги от $0$ до $\frac{\pi}{4}$). 2. При нечетных $k$, то есть $k = 2m + 1$, где $m \in \mathbf{Z}$: $$ \alpha = \frac{\pi}{8} + \pi(2m + 1) = \frac{\pi}{8} + \pi + 2\pi m = \frac{9\pi}{8} + 2\pi m $$ Эти углы задают на единичной окружности точку $M_2$, полученную поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $\frac{9\pi}{8}$: * в градусной мере угол равен: $$ 22{,}5^\circ + 180^\circ = 202{,}5^\circ = 202^\circ 30' $$ * точка $M_2$ лежит в III координатной четверти. **Геометрическое описание построения:** * На единичной окружности с центром в начале координат $O(0; 0)$ и начальной точкой $P(1; 0)$ отложим от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки угол $22{,}5^\circ$ ($\frac{\pi}{8}$) и отметим точку $M_1$. * Проведем через точку $M_1$ и начало координат прямую до пересечения с противоположной стороной единичной окружности. Полученная точка $M_2$ диаметрально противоположна точке $M_1$ (симметрична ей относительно начала координат). Таким образом, формуле $\alpha = \frac{\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbf{Z}$ соответствуют ровно две диаметрально противоположные точки единичной окружности: $M_1\left(\cos \frac{\pi}{8}; \sin \frac{\pi}{8}\right)$ в I четверти и $M_2\left(\cos \frac{9\pi}{8}; \sin \frac{9\pi}{8}\right)$ в III четверти. **Ответ:** две диаметрально противоположные точки единичной окружности, соответствующие углам $\frac{\pi}{8}$ (I четверть) и $\frac{9\pi}{8}$ (III четверть).