ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / подготовка к экзамену - 5

Дано уравнение: $$ 3\tan\alpha - 3\operatorname{ctg}\alpha = 8 $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ \tan\alpha - \operatorname{ctg}\alpha = \frac{8}{3} $$ Так как $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$, перепишем уравнение относительно $\tan\alpha$: $$ \tan\alpha - \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{8}{3} $$ Умножим обе части уравнения на $3\tan\alpha$ (при условии $\tan\alpha \neq 0$): $$ 3\tan^2\alpha - 8\tan\alpha - 3 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение относительно $\tan\alpha$: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 $$ $$ \tan\alpha = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 10}{6} $$ $$ \tan\alpha_1 = \frac{8 + 10}{6} = 3, \quad \tan\alpha_2 = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $$ По условию угол $\alpha$ принадлежит IV четверти: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$. В IV четверти тангенс принимает отрицательные значения, следовательно: $$ \tan\alpha = -\frac{1}{3} $$ Для нахождения $\sin 2\alpha$ применим формулу выражения синуса двойного угла через тангенс половинного аргумента: $$ \sin 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha} $$ Подставим найденное значение $\tan\alpha$: $$ \sin 2\alpha = \frac{2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}{1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{-\frac{2}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = -\frac{3}{5} = -0{,}6 $$ Ответ: $-\frac{3}{5}$ (или $-0{,}6$).