ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 32 / вариант 1 - 7

7. 2) Упростим выражение $\sin \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) + \sin \alpha$. Используем формулу синуса суммы двух углов: $$ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $$ Раскроем первое слагаемое: $$ \sin \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \sin \frac{\pi}{3} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{3} \sin \alpha $$ Подставим табличные значения $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$: $$ \sin \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha \right) + \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{3}{2} \sin \alpha $$ Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки и свернем выражение по формуле синуса суммы: $$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{3}{2} \sin \alpha = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha \right) $$ Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6}$, а $\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$, получаем: $$ \sqrt{3} \left( \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) $$ *(Примечание: если $\boxed{2}$ в записи условия обозначает множитель, а не номер пункта, то решение принимает вид:* $2 \sin \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) + \sin \alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha \right) + \sin \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha + 2 \sin \alpha$.*)* Ответ: $\sqrt{3} \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right)$ (или $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{3}{2} \sin \alpha$).